3琉球大学 2021年 数学 第3問解答・解説

極座標の点を直交座標で $(x,y)$ とすると、$r=\sqrt{x^2+y^2}$ および $x=r\cos\theta$ である。したがって $$\displaystyle r=\frac{1}{1+\cos\theta}\quad\text{すなわち}\quad r+x=1\quad\text{すなわち}\quad r=1-x.$$ 両辺を平方すると $$\displaystyle x^2+y^2=(1-x)^2,\qquad\therefore\quad y^2=1-2x,\quad x=\frac{1-y^2}{2}.$$ 逆に、この式を満たす点では $\displaystyle x\leq \frac12$ であり、 $$\displaystyle r=\sqrt{\left(\frac{1-y^2}{2}\right)^2+y^2}=\frac{1+y^2}{2}=1-x$$ となるので、もとの極方程式も満たす。よって曲線はこの放物線全体である。頂点は $\displaystyle (\frac12,0)$、軸は $x$ 軸、開く向きは左であり、$y$ 軸との交点は $(0,1),(0,-1)$ である。また $r=1-x$ は焦点が $O$、準線が $x=1$ であることを表す。

問2では $$\displaystyle x=r\cos\theta=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta},\qquad y=r\sin\theta=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.$$ これらを $\theta$ で微分すると $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-\frac{\sin\theta}{(1+\cos\theta)^2},\qquad \frac{dy}{d\theta}=\frac{1}{1+\cos\theta}.$$ $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ なので $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}\ne0$ であり、接線の傾きは $$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} =-\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}.$$

問3で $P=(x,y)$ とおけば $x>0,\ y>0$ で、$H=(0,y)$ である。半直線 $PH$ の方向角は $\pi$、半直線 $PO$ の方向角は $\pi+\theta$ だから、$\angle OPH=\theta$ である。したがって内部角二等分線の方向角は $\displaystyle \pi+\frac{\theta}{2}$ で、その傾きは $$\displaystyle \tan\left(\pi+\frac{\theta}{2}\right) =\tan\frac{\theta}{2} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}.$$ 問2の接線の傾きとの積は $$\displaystyle \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\left(-\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\right)=-1.$$ よって、内部角二等分線と接線は直交する。