4大阪公立大学 2022年 数学 第4問解答・解説

以下 $a=\alpha/2$ と略記する。

問1

定義を代入し、加法定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f(t)\sin a+g(t)\cos a &=2\cos t\sin a+\cos2t\sin a +2\sin t\cos a-\sin2t\cos a\\ &=2\sin(t+a)+\sin(a-2t)\\ &=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) -\sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}$$ よって示された。

問2

問1の右辺を $$\displaystyle F(t)=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) -\sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right)$$ とおくと、$F(\alpha)=\sin(3\alpha/2)$ である。また和積の公式から $$\displaystyle \sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right) +\sin\frac{3\alpha}{2} =2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)\cos(t-\alpha).$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} F(t)-F(\alpha) &=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) \{1-\cos(t-\alpha)\}\\ &=4\left(\sin\frac{t-\alpha}{2}\right)^2 \sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}$$ 問1を $t=\alpha$ に適用すると $F(\alpha)=f(\alpha)\sin(\alpha/2)+g(\alpha)\cos(\alpha/2)$ なので、左辺 $F(t)-F(\alpha)$ は問2の左辺そのものである。よって求める等式が成り立つ。

問3

媒介変数表示を微分すると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(t)&=-2\sin t-2\sin2t =-4\sin\frac{3t}{2}\cos\frac{t}{2},\\ g'(t)&=2\cos t-2\cos2t =4\sin\frac{3t}{2}\sin\frac{t}{2}. \end{aligned}$$ $0<\alpha<2\pi/3$ より $\sin(3\alpha/2)>0$、$\cos(\alpha/2)>0$ であるから $f'(\alpha)\ne0$。したがって接線の傾きは $$\displaystyle \frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)} =-\tan\frac{\alpha}{2}.$$ $-\pi/3<-\alpha/2<0$ なので $-\alpha/2$ は指定された $\theta$ の範囲内にある。ゆえに $$\displaystyle \boxed{\theta=-\frac{\alpha}{2}}.$$

問4

接線の方向ベクトルは $$\displaystyle (f'(\alpha),g'(\alpha)) =4\sin\frac{3\alpha}{2} \left(-\cos\frac{\alpha}{2},\ \sin\frac{\alpha}{2}\right)$$ である。よってこの接線の方程式は $$\displaystyle (x-f(\alpha))\sin\frac{\alpha}{2} +(y-g(\alpha))\cos\frac{\alpha}{2}=0.$$ 問2より、この直線上にある曲線上の点 $(f(t),g(t))$ は $$\displaystyle 4\left(\sin\frac{t-\alpha}{2}\right)^2 \sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)=0$$ を満たす。点 $(f(t),g(t))$ が $C_1$ または $C_2$ 上にある場合は $0<t-\alpha<2\pi$ であり、$t-\alpha$ は $2\pi$ の倍数ではない。したがって $$\displaystyle \sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)=0.$$

$2\pi/3<t<4\pi/3$ なら $2\pi/3<t+\alpha/2<5\pi/3$ であり、正弦が0となるのは $t+\alpha/2=\pi$ のときだけである。よって $$\displaystyle t_1=\pi-\frac{\alpha}{2}$$ が $P_1$ の媒介変数である。同様に $4\pi/3<t<2\pi$ なら $4\pi/3<t+\alpha/2<7\pi/3$ であり、正弦が0となるのは $t+\alpha/2=2\pi$ のときだけなので、 $$\displaystyle t_2=2\pi-\frac{\alpha}{2}=t_1+\pi$$ が $P_2$ の媒介変数である。ここで $t_1,t_2$ は、それぞれ定められた $C_1,C_2$ の区間内にある。

任意の $t$ について $$f(t+\pi)-f(t)=-4\cos t,\qquad g(t+\pi)-g(t)=-4\sin t.$$ ゆえに $$P_1P_2 =\sqrt{(f(t_1+\pi)-f(t_1))^2+(g(t_1+\pi)-g(t_1))^2} =4\sqrt{\cos^2t_1+\sin^2t_1} =4.$$ したがって線分 $P_1P_2$ の長さは $\alpha$ によらず、常に $$\boxed{4}$$ である。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\text{問3 }\theta=-\frac{\alpha}{2}},\qquad \boxed{\text{問4 }P_1P_2=4}.$$ 問1、問2の恒等式はそれぞれ上記の加法定理および和積の公式で得られる。

使用した解法

三角関数の加法定理・和積の公式、媒介変数表示の微分、接線の方向ベクトルと直線方程式、各パラメータ区間での正弦の零点判定を用いた。