V日本医科大学 2017年 数学 第V問解答・解説

各楕円の焦点距離は $d$ なので、$0<d<b<a$ である。楕円上の点から2焦点までの距離の和は長軸の長さに等しい。

問1 $F$ を原点とし、$F'$ の方向を負の $x$ 軸とする。$P$ は $y$ 座標が正で $\angle PFF'=2\theta$、$PF=p$ だから、$P$ の座標は $(-p\cos2\theta,p\sin2\theta)$、$F'=(-2d,0)$ と表せる。従って $PF'=\sqrt{p^2-4dp\cos2\theta+4d^2}$。楕円Aの焦点距離の和より $p+PF'=2a$ である。両辺を整理して2乗すると $$p^2-4dp\cos2\theta+4d^2=(2a-p)^2 \quad\text{したがって}\quad p(a-d\cos2\theta)=a^2-d^2.$$ $d<a$ より係数は正なので $\displaystyle p=\frac{a^2-d^2}{a-d\cos2\theta}$。 同様に、$Q$ の座標は $(-q\cos\theta,q\sin\theta)$、そのもう一方の焦点までの距離は $\sqrt{q^2-4dq\cos\theta+4d^2}$ であり、その和は $2b$。同じ計算から $\displaystyle q=\frac{b^2-d^2}{b-d\cos\theta}$ を得る。

問2 $q/p$ は正定数 $\displaystyle \frac{b^2-d^2}{a^2-d^2}$ と $\displaystyle R(\theta)=\frac{a-d\cos2\theta}{b-d\cos\theta}$ の積である。従って最大値をとるかどうかは $R$ と同じである。微分すると $$\displaystyle R'(\theta)= \frac{d\sin\theta}{(b-d\cos\theta)^2} \left(4b\cos\theta-2d\cos^2\theta-a-d\right).$$ $c=\cos\theta$ とおくと、括弧内を $g(c)=-2dc^2+4bc-a-d$ と書ける。$0<c<1$ で $g'(c)=4(b-dc)>0$ なので $g$ は増加関数であり、$g(0)=-a-d<0$、 $g(1)=4b-a-3d$ である。よって $R'$ が正から負へ変わる内点が存在する必要十分条件は $4b-a-3d>0$。そのとき $R$ はその内点で最大値をとる。正の $d$ をこの条件で選べるための $a,b$ の条件は $a<4b$ であり、この場合の範囲は $\displaystyle 0<d<\frac{4b-a}{3}$ である。もともと $a>b$ なのでこの上限は $b$ より小さく、与えられた $d<b$ とも矛盾しない。

問3 同じ $g$ の符号を用いる。もし $g(1)\leq0$ なら、$g$ は $c$ の増加関数だから $0<c<1$ では $g(c)<0$。このとき $R'(\theta)<0$ であり、$R$ は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ で、$\theta$ が大きくなると値は必ず小さくなるので、右端が含まれない以上、最小値をとらない。もし $g(1)>0$ なら、$g(0)<0$ と単調性から$0<c_0<1$ を満たすただ1つの $c_0$ で $g(c_0)=0$ となる。$\cos\theta$ は $\theta$ とともに減少するため、$\displaystyle 0<\theta_0<\frac{\pi}{2}$ を満たすある $\theta_0$ を境に $R'$ は正から負へ変わる。従ってこの場合も $R$ は内点で最大値をとり、最小値をとらない。以上より、どの場合にも $q/p$ は最小値をとらない。