II日本医科大学 2017年 数学 第II問解答・解説

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ とし、$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$ とする。

問1 ド・モアブルの定理から $z^7=\cos(7\theta)+i\sin(7\theta)=\cos\pi+i\sin\pi=-1$。

問2 $z^7+1=(z+1)(z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1)=0$ である。$\theta=\pi/7$ なので $z\ne-1$、従って括弧内は0である。求める式は括弧内から1を引いたものだから $-1$。

問3〜問5 $z^{-1}=\cos\theta-i\sin\theta$ なので $z+z^{-1}=2\cos\theta$。同様に、任意の整数 $m$ について $z^m+z^{-m}=2\cos(m\theta)$ である。従って $$\displaystyle \cos\theta=\frac{z+z^{-1}}2,\qquad \cos2\theta=\frac{z^2+z^{-2}}2,\qquad \cos3\theta=\frac{z^3+z^{-3}}2.$$

問6 加法定理から $$\begin{aligned} 2\sin4\theta\cos3\theta &=\sin7\theta+\sin\theta\\ &=\sin\theta. \end{aligned}$$ また、 $$\begin{aligned} \sin4\theta &=2\sin2\theta\cos2\theta\\ &=4\sin\theta\cos\theta\cos2\theta. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} 8\sin\theta\cos\theta\cos2\theta\cos3\theta &=\sin\theta,\\ \cos\theta\cos2\theta\cos3\theta &=\frac18. \end{aligned}$$ （$\sin\theta\ne0$ なので両辺を $\sin\theta$ で割った。）

問7 和積の公式から $$\cos\theta+\cos3\theta+\cos5\theta =2\cos3\theta\cos2\theta+\cos3\theta =\cos3\theta(1+2\cos2\theta).$$ 加法定理より $\sin3\theta=\sin\theta(1+2\cos2\theta)$ だから、この和は $\displaystyle \frac{\sin3\theta\cos3\theta}{\sin\theta} =\frac{\sin6\theta}{2\sin\theta} =\frac{\sin(\pi-\theta)}{2\sin\theta} =\frac12$ である。