I日本医科大学 2017年 数学 第I問解答・解説

$\displaystyle a_1=\frac12>0$ であり、漸化式の分母は正なので、帰納的に $a_n>0$ が成り立つ。そこで $\displaystyle b_n=\frac1{a_n}$ とおくと $\displaystyle b_1=2,\quad b_{n+1}=\frac{3a_n+1}{a_n}=b_n+3$。 従って $\{b_n\}$ は初項2、公差3の等差数列であり、$b_n=2+3(n-1)=3n-1$、よって

問1 $\displaystyle a_n=\frac1{3n-1}$。

問2 各項を部分分数に分けると $$\displaystyle a_ka_{k+1}a_{k+2} =\frac1{(3k-1)(3k+2)(3k+5)} =\frac1{18}\left(\frac1{3k-1}-\frac2{3k+2}+\frac1{3k+5}\right) =\frac1{18}(a_k-2a_{k+1}+a_{k+2}).$$ 従って和を取ると中間の項が消え、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_ka_{k+1}a_{k+2} =\frac1{18}(a_1-a_2-a_{n+1}+a_{n+2}) =\frac1{18}\left(\frac12-\frac15-\frac1{3n+2}+\frac1{3n+5}\right) =\frac1{60}-\frac1{6(3n+2)(3n+5)}.$$ 問3 この式で $n\to\infty$ とすると、最後の分数は0に近づくので $\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{\infty}a_na_{n+1}a_{n+2}=\frac1{60}$ である。