III日本医科大学 2017年 数学 第III問解答・解説

$s=\sqrt{\pi}$ と置く。 $\displaystyle H(x,t)=\frac{(x^2+st)e^{t^2}}{t^2\log t}$ と定める。$s>1$ なので、$H$ は $(s,s)$ の近くで連続である。また $$x^3-sx^2+\pi x-\pi s=(x-s)(x^2+\pi).$$ 従って、$x\ne s$ のとき、求める式は $$\displaystyle \frac{1}{x^2+\pi}\cdot\frac{1}{x-s}\int_s^x H(x,t)\,dt$$ と書ける。$x\to s$ のとき積分区間の全ての $t$ は $s$ に近づき、連続性からその区間での $H(x,t)$ の値は一様に $H(s,s)$ に近づく。よって積分の平均 $\displaystyle \frac1{x-s}\int_s^xH(x,t)\,dt$ は $H(s,s)$ に近づく。したがって極限は $$\displaystyle \frac{H(s,s)}{2\pi} =\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{(s^2+s^2)e^{s^2}}{s^2\log s} =\frac{e^\pi}{\pi\log s} =\frac{2e^\pi}{\pi\log\pi}.$$ 最後に $\displaystyle \log s=\log\sqrt{\pi}=\frac12\log\pi$ を用いた。