IV日本医科大学 2017年 数学 第IV問解答・解説

$\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b$ とおき、 $\displaystyle p=\frac{m}{m+n},\ q=\frac{n}{m+n}$ とする。内分比から $C$ の位置ベクトルは $p\mathbf a$、$D$ の位置ベクトルは $q\mathbf b$ である。

問1 $E$ の位置ベクトルを $u\mathbf a+v\mathbf b$ とおく。$E$ は $AD$ 上にあるので、ある実数 $t$ に対し $u=1-t,\ v=tq$、従って $qu+v=q$。また $E$ は $BC$ 上にあるので、ある実数 $r$ に対し $u=p(1-r),\ v=r$、従って $u+pv=p$ である。この連立方程式を解くと $$\displaystyle u=\frac{p^2}{1-pq},\qquad v=\frac{q^2}{1-pq}.$$ よって $E=(1-u-v)O+uA+vB$ であり、 $$\displaystyle 1-u-v=\frac{1-pq-p^2-q^2}{1-pq} =\frac{pq}{1-pq}$$ （$p+q=1$ を用いた）。三角形 $EAB$ と $OAB$ は同じ底辺 $AB$ をもつので、面積比はそれぞれの高さの比、すなわち $1-u-v$ に等しい。従って $$\displaystyle \frac TS=\frac{pq}{1-pq} =\frac{mn}{(m+n)^2-mn} =\frac{mn}{m^2+mn+n^2}.$$

問2 $m,n>0$ だから $$\displaystyle \frac TS=\frac{1}{1+\frac mn+\frac nm}\leq\frac13$$ である。ここでは $\displaystyle \frac mn+\frac nm\geq2$ を用い、等号は $m=n$ のときに成り立つ。従って $\displaystyle M=\frac13$。サイコロの出目の組は全部で36通り、等号となるのは $(1,1),(2,2),\ldots,(6,6)$ の6通りなので、求める確率は $\displaystyle \frac6{36}=\frac16$ である。

問3 $\displaystyle r=\frac mn$ とおく。対称性により $m\geq n$ としてよく、このとき $1\leq r\leq6$ である。$r\geq1$ では $\displaystyle r+\frac1r$ は増加する。実際、$r_2>r_1\geq1$ なら $\displaystyle (r_2+\frac1{r_2})-(r_1+\frac1{r_1})=(r_2-r_1)(1-\frac1{r_1r_2})>0$。 従って $\displaystyle 1+\frac mn+\frac nm$ は最大で $r=6$、すなわち $(m,n)=(6,1)$ のときに最大となる。対称な組 $(1,6)$ でも同じ値となるので、$\displaystyle \frac TS$ の最小値は $\displaystyle \frac{6}{1+6+36}=\frac6{43}$ であり、そのときの組は $(6,1),(1,6)$ である。