3鹿児島大学 2019年 数学 第3問解答・解説

3-1

(1) $p=1$ のとき、漸化式から $a_{k+1}-a_k=3k^2+3k$ である。したがって、$n\ge1$ に対して $$\displaystyle a_n=1+3\sum\limits _{k=1}^{n-1}(k^2+k)=1+3\left\{\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{(n-1)n}2\right\}=1+(n-1)n(n+1)=n^3-n+1.$$ (2) 左辺に漸化式を代入して展開すると、 $$p a_n+(3+\alpha)n^2+(3+2\alpha+\beta)n+(\alpha+\beta+\gamma) =p a_n+p\alpha n^2+p\beta n+p\gamma.$$ 各次数の係数を比較して $$3+\alpha=p\alpha,\qquad 3+2\alpha+\beta=p\beta,\qquad \alpha+\beta+\gamma=p\gamma.$$ $p\ne1$ より、順に解いて $$\displaystyle \alpha=\frac3{p-1},\qquad \beta=\frac{3+2\alpha}{p-1}=\frac{3(p+1)}{(p-1)^2},\qquad \gamma=\frac{\alpha+\beta}{p-1}=\frac{6p}{(p-1)^3}.$$ (3) $p=2$ のとき、(2)より $\alpha=3,\beta=9,\gamma=12$ である。$c_n=a_n+3n^2+9n+12$ とおくと $c_{n+1}=2c_n$、また $c_1=25$ なので $c_n=25\cdot2^{n-1}$。よって $$a_n=25\cdot2^{n-1}-3n^2-9n-12.$$

3-2

(1) $\overrightarrow{AB}=(-2,b,b)$ だから、 $$\overrightarrow{OP}=(1,0,0)+t(-2,b,b)=(1-2t,bt,bt).$$ したがって $P(1-2t,bt,bt)$ である。 (2) この点が球 $S$ 上にある条件は $$(1-2t)^2+(bt-1)^2+(bt)^2=1,$$ すなわち $$(4+2b^2)t^2-(4+2b)t+1=0.$$ $4+2b^2>0$ であるから、この二次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上となることである。 $$D=(4+2b)^2-4(4+2b^2)=4b(4-b)\ge0.$$ よって $0\le b\le4$。 (3) $\overrightarrow{AB}=(-2,b,b)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$ とすると、 $$|\overrightarrow{AB}|^2=4+2b^2,\quad |\overrightarrow{AC}|^2=2,\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=b+2.$$ $\theta=\angle BAC$ とおけば、内積と $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より $$\displaystyle T^2=\frac14|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2\sin^2\theta =\frac14\left(|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2\right) =\frac{3b^2-4b+4}{4}.$$ ここで $\displaystyle 3b^2-4b+4=3\left(b-\frac23\right)^2+\frac83$ だから、区間 $0\le b\le4$ で最小値は $\displaystyle b=\frac23$ のときに得られ、$\displaystyle T_{\min}=\sqrt{2/3}$。最大値は端点で比較すればよく、$b=0$ では $T=1$、$b=4$ では $T=3$ なので $\displaystyle T_{\max}=3$。

3-3

各回は独立で、1回の試行で各数字が出る確率は $1/10$ である。 (1) $X_{(n)}\le8$ は、すべての回で8以下を引くことと同値だから、 $$\displaystyle P(X_{(n)}\le8)=\left(\frac8{10}\right)^n=\left(\frac45\right)^n.$$ (2) 最大値が8であるのは、すべての数が8以下で、かつすべての数が7以下ではない場合である。したがって $$\displaystyle P(X_{(n)}=8)=\left(\frac8{10}\right)^n-\left(\frac7{10}\right)^n=\frac{8^n-7^n}{10^n}.$$ (3) $X_{(2)}\ge6$ であることは、1から5までの数が出る回数が高々1回であることと同値である。該当する回数は0回または1回なので $$\displaystyle P(X_{(2)}\ge6)=\left(\frac12\right)^n+n\left(\frac12\right)^n=\frac{n+1}{2^n}.$$ $n=2$ では $3/4>1/2$、$n=3$ では $1/2$ であり、いずれも条件を満たさない。一方、$n=4$ では $5/16<1/2$ となる。よって求める最小の試行回数は $4$ 回である。