5鹿児島大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) 定義域は $x\geq0$ であり、$$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x}>0,\qquad f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}<0.$$ よって $f$ は定義域全体で単調に増加し、上に凸（凹関数）である。また $f(0)=0$、$f'(0)=1$ であるから、グラフは原点から傾き1で出発し、増加しながら傾きが小さくなる。$x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$ だが、その増加は次第に緩やかになる。

(2) 水面の高さを $h\ (h\geq0)$ とする。高さ $y$ の水平断面の半径を $r$ とすると、容器の側面は $y=\log(1+r)$ であるから、$r=e^y-1$ となる。したがって高さ $y$ の断面積は $\pi(e^y-1)^2$ であり、$$\displaystyle V=\pi\int_0^h(e^y-1)^2\,dy=\pi\int_0^h(e^{2y}-2e^y+1)\,dy.$$ これを計算すると、$$\displaystyle V=\pi\left[\frac12e^{2y}-2e^y+y\right]_0^h=\frac{\pi}{2}\left(e^{2h}-4e^h+2h+3\right).$$

(3) 水は単位時間あたり $v$ の割合で注がれるので、$dV/dt=v$ である。(2)より $$\displaystyle \frac{dV}{dh}=\pi(e^h-1)^2.$$ よって連鎖律から $$\displaystyle v=\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}=\pi(e^h-1)^2\frac{dh}{dt}.$$ $h=\log2$ のとき $e^h=2$ だから、$$\displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{v}{\pi(2-1)^2}=\frac{v}{\pi}.$$