2旭川医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

問1. $\displaystyle S_n(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}x^k/k!$ とおくと、 $$\displaystyle S_n'(x)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}=S_{n-1}(x).$$ したがって積の微分法から $$\displaystyle f_n'(x)=e^{-x}\{S_{n-1}(x)-S_n(x)\}=-e^{-x}\frac{x^n}{n!}.$$ これをもう一度微分して $$\displaystyle f_n''(x)=e^{-x}\frac{x^n}{n!}-e^{-x}\frac{n x^{n-1}}{n!} =e^{-x}\frac{x^{n-1}(x-n)}{n!}.$$

問2. $\log x$ は $x>0$ で増加する。各整数 $k=2,\ldots,n$ について、$k-1<x<k$ の範囲では $\log x<\log k$ なので、 $$\displaystyle \int_{k-1}^{k}\log x\,dx<\log k.$$ これらを足し合わせると $$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx<\sum\limits _{k=2}^{n}\log k.$$ 左辺を計算すれば $$\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=[x\log x-x]_1^n=n\log n-n+1,$$ よって所望の不等式を得る。

問3. $g_n(x)=e^{-x}x^n/n!\ (x>0)$ とおく。 $$\displaystyle g_n'(x)=e^{-x}\frac{x^{n-1}(n-x)}{n!}$$ だから、$g_n$ は $0<x<n$ で増加し、$x>n$ で減少する。従って最大値は $$\displaystyle g_n(n)=e^{-n}\frac{n^n}{n!}$$ である。$n\ge2$ のとき問2より $$\displaystyle \log(n!)=\sum\limits _{k=2}^{n}\log k>n\log n-n+1,$$ したがって $n!>e^{-n+1}n^n$、ゆえに $g_n(n)<1/e$ となる。$n=1$ では $g_1(1)=1/e$ である。よってどの場合も $0<g_n(x)\le1/e$ であり、問1の式 $f_n'(x)=-g_n(x)$ から $$\displaystyle -\frac1e\le f_n'(x)<0\qquad(x>0)$$ を得る。