4旭川医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

2つの数列 $\{p_{n}\},\{q_{n}\}$ は次の漸化式を満たしている.

$$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} p _ {n + 1} = \frac {1}{2} p _ {n} + \frac {1}{4} q _ {n} - \frac {1}{4} \\ q _ {n + 1} = \frac {1}{2} p _ {n} + \frac {3}{4} q _ {n} + \frac {1}{4} \end{array} \quad (n = 1, 2, 3, \dots \dots) \right.$$

このとき，次の各問いに答えよ。

問 1 $p_{n}+q_{n}=p_{1}+q_{1}\quad(n=1,2,3,\cdots\cdots)$ が成り立つことを示せ.

問 2 一般項 $p_{n}$ を $p_{1}$ ， $q_{1}$ を用いて表せ。

問 3 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty} p_{n}$ が収束し，和が1となるように， $p_{1}$ と $q_{1}$ の値を定めよ.

問 4 問 2, 問 3 で求めた数列 $\{p_n\}$ について, 無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty} n p_n$ の和を求めよ. ただし, $|r| < 1$ のとき $\displaystyle \lim\limits _{n \to \infty} nr^n = 0$ であることは, 証明なしに用いてよい.