1旭川医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

問1 直線の方程式は $y=m(x-a)$ である。これを $x^{2}+y^{2}=1$ に代入すると $$(1+m^{2})x^{2}-2am^{2}x+(a^{2}m^{2}-1)=0.$$ 円と直線が異なる2点で交わるための条件は、この二次方程式が異なる2実根をもつことである。判別式を $\Delta$ とすると $$\displaystyle \frac{\Delta}{4}=a^{2}m^{4}-(1+m^{2})(a^{2}m^{2}-1)=1-(a^{2}-1)m^{2}.$$ したがって $\Delta>0$ より $$(a^{2}-1)m^{2}<1,$$ $a>1$ を用いて $$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}<m<\frac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}.$$ 問2　$M=(x,y)$ とする。交点 $A,B$ の $x$ 座標を $\alpha,\beta$ とすると、解と係数の関係から $$\displaystyle x=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{am^{2}}{1+m^{2}}.$$ $M$ は直線上にあるので $$\displaystyle y=m(x-a)=-\frac{am}{1+m^{2}}.$$ よって $$\displaystyle x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}m^{2}}{1+m^{2}}=ax,$$ すなわち $$\displaystyle (x-\frac a2)^{2}+y^{2}=(\frac a2)^{2}.$$ また、問1の範囲と $$\displaystyle x=\frac{am^{2}}{1+m^{2}}$$ から $$\displaystyle 0\le x<\frac1a$$ である。逆に、この円上で $0\le x<1/a$ を満たす点については、 $$\displaystyle m=-\frac{y}{a-x}$$ とおけば、円の式から $m^{2}=x/(a-x)<1/(a^{2}-1)$ となり、上の媒介表示でその点が得られる。したがって軌跡はこの条件で表される円弧であり、 $x=1/a$ にある両端点は除く。