3香川大学 2020年 数学 第3問解答・解説

直線 $y=t(x-3)$ を楕円 $x^2+9y^2=1$ に代入すると $$(1+9t^2)x^2-54t^2x+81t^2-1=0.$$ この二次方程式の判別式は $4(1-72t^2)$。相異なる2点で交わる条件は $$\displaystyle |t|<\frac1{6\sqrt2}.$$ 交点のx座標の平均は $x_M=27t^2/(1+9t^2)$。また直線上にあるので $$\displaystyle M=\left(\frac{27t^2}{1+9t^2},-\frac{3t}{1+9t^2}\right).$$ $s=3t$ と置くと $x_M=3s^2/(1+s^2), y_M=-s/(1+s^2)$。従って $$\displaystyle y_M^2=\frac{x_M(3-x_M)}9,\qquad 0\le x_M<\frac13.$$ すなわち $(x_M-3/2)^2+9y_M^2=9/4$ の楕円上で、原点を含み、$(1/3,\pm2\sqrt2/9)$ を含まない2つの弧である。

(2) 図示

実線が軌跡で、白丸の境界点は含まない。原点は含む。