香川大学 2020年数学第2問解答・解説

1問題

香川大学2020年度第2問

$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ とし， $xy$ 平面において連立不等式　 $\begin{cases}(x-\cos\alpha)^2+y^2\leq 1,\\(x+\cos\alpha)^2+y^2\leq 1\end{cases}$ 　の表す領域を $D$ とする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$ のとき，この領域 $D$ を図示せよ。

(2) $D$ の面積を $\alpha$ を用いて表せ。

(3) $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を $\alpha$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
中心 $\displaystyle \left(\pm\frac{\sqrt3}{2},0\right)$ 、半径 $1$ の円の共通部分。交点 $\displaystyle \left(0,\pm\frac12\right)$
(2)
2α−sin(2α)
(3)
$\displaystyle (\frac{2π}{3})(1−\cos α)^2(2+\cos α)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

% 図にはTikZを使用（プリアンブルに usepackage{tikz}）。解答 $c=\cos\alpha$ とする。(1) $\alpha=\pi/6$ のとき2円の中心は $(\pm\sqrt3/2,0)$ ，半径1。交点は $(0,\pm1/2)$ なので共通部分は次図のレンズ形。

x軸・y軸と原点Oの座標平面に、中心(−√3/2, 0)と中心(√3/2, 0)（ともに黒点）で半径1の2つの円が灰色の破線で描かれ、2円はy軸上の黒点A(0, 1/2)とB(0, −1/2)で交わる。2円の共通部分は、左の赤い弧と右の青い弧（いずれも実線、境界を含む）に囲まれた縦長のレンズ形として薄紫に塗られ、引き出し線でDと記されている。レンズのx方向の端は引き出し線で左が−(1−√3/2)、右が1−√3/2と示されている。

(2) 高さ $y$ の共通部分の横幅は $2(\sqrt{1-y^2}-c)$ ，ただし $|y|\le\sin\alpha$ 。従って $\displaystyle |D|=2\int_{-\sin\alpha}^{\sin\alpha}(\sqrt{1-y^2}-c)\,dy=2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=2\alpha-\sin2\alpha.$

(3) $|x|\le1-c$ での縦半径は $h(x)=\sqrt{1-(|x|+c)^2}$ 。回転断面は半径 $h(x)$ の円だから $\displaystyle V=2\pi\int_0^{1-c}\{1-(x+c)^2\}\,dx=\frac{2\pi}{3}(1-c)^2(c+2).$

この問題で使う考え方

対称性
断面積積分
円の交点

1問題

2答え

3解答

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