香川大学 2020年数学第1問解答・解説

数列

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1問題

香川大学2020年度第1問

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ としたとき，条件

$5a_n=2S_n-2n+3\quad(n=1,2,3,\ldots)$

が成り立っているとする。このとき，次の問に答えよ。

(1) $a_1,\ a_2$ の値を求めよ。

(2) $a_{n+1}$ と $a_n$ の関係式を求めよ。

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $S_n$ を $n$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle a_1=\frac13,\quad a_2=-\frac19$ 。 (2) $3a_{n+1}=5a_n-2$ （すなわち $\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n-2}{3}$ ）。 (3) $\displaystyle a_n=1-\frac23\left(\frac53\right)^{n-1}$ 。 (4) $\displaystyle S_n=n+1-\left(\frac53\right)^n$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $n=1$ のとき $S_1=a_1$ だから， $5a_1=2a_1-2+3$ より $\displaystyle a_1=\frac13$ である。 $n=2$ のとき $S_2=a_1+a_2$ だから， $\displaystyle 5a_2=2(a_1+a_2)-4+3,\qquad 3a_2=2a_1-1=-\frac13.$ したがって $\displaystyle a_2=-\frac19$ である。

(2) 条件式の $n+1$ の場合から $n$ の場合を引くと， $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ より $5(a_{n+1}-a_n)=2a_{n+1}-2.$ よって $3a_{n+1}=5a_n-2.$

(3) $b_n=a_n-1$ とおくと，上の漸化式から $\displaystyle 3(a_{n+1}-1)=5(a_n-1),\qquad b_{n+1}=\frac53b_n.$ $\displaystyle a_1=\frac13$ より $\displaystyle b_1=-\frac23$ なので， $\displaystyle b_n=-\frac23\left(\frac53\right)^{n-1}.$ したがって $\displaystyle a_n=1-\frac23\left(\frac53\right)^{n-1}.$

(4) 条件式を $S_n$ について解くと $\displaystyle S_n=\frac{5a_n+2n-3}{2}.$

(3) の式を代入して $\displaystyle S_n=\frac{5-\frac{10}{3}\left(\frac53\right)^{n-1}+2n-3}{2}=n+1-\left(\frac53\right)^n.$

この問題で使う考え方

隣接差
等比数列への変形

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