3熊本大学 2001年 数学 第3問解答・解説

隣接差を $d_n=x_{n+1}-x_n$ とすると $$d_n=3n^2+3n+1-a(2n+1).$$ $\displaystyle R_n=\frac{3n^2+3n+1}{2n+1}=\frac32n+\frac34+\frac1{4(2n+1)}$ とおけば、$d_n<0\quad\text{すなわち}\quad a>R_n$、$d_n>0\quad\text{すなわち}\quad a<R_n$。また $$\displaystyle R_{n+1}-R_n=\frac32-\frac1{2(2n+1)(2n+3)}>0,$$ ゆえに $R_n$ は増加する。 前半の $x_{n+1}<x_n$ という条件はn=1,…,14で $a>R_n$ だから $a>R_{14}=631/29$、整数aとして $a\ge22$。後半の $x_{n+1}>x_n$ という条件は全n≧15で $a<R_n$ だから最小境界 $a<R_{15}=721/31$、整数aとして $a\le23$。従って $$a=22,23.$$

差分の符号をaと単調増加する境界値$R_n$の大小に置き換えた。減少部分は最後のn=14が最も強い条件、増加部分は最初のn=15が最も強い条件となり、整数範囲の共通部分を得る。