3鹿児島大学 2001年 数学 第3問解答・解説

原問は3-1、3-2、3-3から1問を選ぶ形式である。以下では復習用に3問すべてを解説する。 3-1 (1) 右辺を展開すると $$\begin{aligned} (ac+bd)^2+(ad-bc)^2 &=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ &=(a^2+b^2)(c^2+d^2). \end{aligned}$$ よって与えられた恒等式が成立する。 3-1 (2) $m,n\in A$なら、整数$a,b,c,d$を用いて$m=a^2+b^2$、$n=c^2+d^2$と書ける。(1)より $$mn=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2.$$ $ac+bd,ad-bc$はいずれも整数なので$mn\in A$である。 3-1 (3) $5=1^2+2^2$なので$5\in A$。(2)を繰り返せば$5^2,5^3,5^4,5^5\in A$となる。直接にも$5^5=3125=55^2+10^2$と確認できる。 3-2 (1) $n=1$を与式に代入すると$a_1=0$。$n\ge2$では $$nS_n=(n-1)(2a_n+2-n),$$ $$(n+1)(S_n+a_{n+1})=n(2a_{n+1}+1-n)$$ より$(n+1)S_n=(n-1)(a_{n+1}-n)$。 これを最初の式と合わせ、$n-1\ne0$で割ると $$(n+1)(2a_n+2-n)=n(a_{n+1}-n),$$ 従って$n a_{n+1}-2(n+1)a_n=n+2$。 $n=1$でも$a_2-4a_1=3$が成立するから $$\boxed{n a_{n+1}-2(n+1)a_n=n+2\quad(n\ge1)}.$$ 3-2 (2) (1)を変形すると$n(a_{n+1}+1)=2(n+1)(a_n+1)$。よって $$\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{n+1}+1}{n+1}=2\frac{a_n+1}{n}=2b_n.$$ $b_1=1$だから$\boxed{b_n=2^{n-1}}$、従って$a_n=n2^{n-1}-1$。 3-2 (3) $\displaystyle T=\sum\limits _{k=1}^n k2^k$とおく。添字を一つずらして$2T-T$を計算すると $$\displaystyle T=n2^{n+1}-\sum\limits _{k=1}^n2^k=(n-1)2^{n+1}+2.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{k=1}^n(2a_k+1)=(n-1)2^{n+1}+2-n}.$$ 3-3 (1) 相似によって円の半径を1としてよい。直交座標を $$O=(0,0),\quad P=(-1,0),\quad Q=(1,0),\quad R=(0,1)$$ と取る。$A$は$OR$の延長上にあり$PA=PQ=2$だから$A=(0,\sqrt3)$。 直線$PA$上の点を$(-1+\lambda,\sqrt3\lambda)$と表し、円$x^2+y^2=1$へ代入すると $$(-1+\lambda)^2+3\lambda^2=1\iff2\lambda(2\lambda-1)=0.$$ $P$以外の交点では$\lambda=1/2$なので $$M=(-1/2,\sqrt3/2)$$ であり、$M$は$PA$の中点である。 3-3 (2) 直線$MQ$は$y=(1-x)/\sqrt3$なので$B=(0,1/\sqrt3)$。 $$AP=2,\quad PB=\sqrt{1+1/3}=2/\sqrt3$$ から$\boxed{AP:PB=\sqrt3:1}$。 また$AR=\sqrt3-1$、$RB=1-1/\sqrt3$より $$\boxed{AR:RB=\sqrt3:1}.$$ 3-3 (3) $P$から右向きの水平線を基準にすると、$PA,PR,PB$の傾きはそれぞれ$\sqrt3,1,1/\sqrt3$。従って水平線との角はそれぞれ$60^\circ,45^\circ,30^\circ$である。 よって$\angle APR=\angle RPB=15^\circ$となり、$PR$は$\angle APB$の二等分線である。