14千葉大学 2003年 数学 第14問解答・解説

[ア] $a,z,z^2,z^3$ がひし形の頂点で、$a$ と $z^2$ が対角線の両端なので、対角線の中点一致から $$a+z^2=z+z^3,\qquad a=z+z^3-z^2\quad\text{（実数）}.$$ 対角線ベクトルを $d_1=z^2-a$、$d_2=z^3-z$ とすると、この関係より $d_1=-z(z-1)^2$、$d_2=z(z-1)(z+1)$。四点がひし形なら対角線は垂直であり、退化する $z=0,1,-1$ は除く。よって $$\displaystyle \frac{d_1}{d_2}=-\frac{z-1}{z+1}\quad\text{（実部は0）}.$$ $z=x+iy$ とすると $\displaystyle \operatorname{Re}\frac{z-1}{z+1}=\frac{|z|^2-1}{|z+1|^2}$ だから $|z|=1$。そこで $z=e^{i\theta}$ とおくと、$a$ が実数である条件は $$\sin\theta+\sin3\theta-\sin2\theta=\sin2\theta(2\cos\theta-1)=0.$$ $z$ は実数でないので、$\cos\theta=0$ または $\displaystyle \cos\theta=\frac12$。前者は $z=\pm i$ で $a=1$、後者は $\displaystyle z=\frac{1\pm i\sqrt3}{2}$ で $a=0$。これらはいずれも四点が相異なり、対角線が垂直な平行四辺形となるため、確かにひし形である。

[イ](1) 流れ図の初期値は $(k,l,h)=(1,1,16)$。各訪問で $m=(h+l)\operatorname{div}2$ を計算する。$a[5]<b<a[6]$ より、$m=8$ では $b\le a[m]$、$m=4$ では $b>a[m]$、$m=6$ では $b\le a[m]$、$m=5$ では $b>a[m]$。したがって A 点での表は $$\begin{array}{c|ccccc}\text{到達回}&1&2&3&4&5\\k&1&2&3&4&5\\l&1&1&5&5&6\\h&16&8&8&6&6\end{array}.$$ 最後は $l=h=6$ かつ $b\ne a[6]$ なので $m=0$ として終了する。

[イ](2) 初期の区間幅は $h-l+1=2^p$ であり、各反復で幅が半分になり、A点に戻るたび $k$ が1増える。よってA点では $$h-l+1=2^{p-(k-1)}=2^{p-k+1}.$$ 終了判定に入ると $l=h$ なので幅は1、したがって $k=p+1$。

[ウ](1) $X$ は二項分布で $P(X=0,1,2,3)=(1,3,3,1)/8$。各回、勝者の賞金は必ず $X+1$ だから $\displaystyle E_A+E_B=E(X+1)=\frac52$。期待値が等しいとき $\displaystyle E_A=\frac54$。整数 $k$ が $0,1,2,3$ の場合にAの期待賞金を計算すると $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c}k&E_A&E_A=\frac54\text{ とおいたときの }q\\0&\frac{19+q}{8}&-9\\1&\frac{13+6q}{8}&-\frac12\\2&\frac{4+9q}{8}&\frac23\\3&\frac{4q}{8}&\frac52\end{array}.$$ $k\le-1$ ならAが常に勝ち、$k\ge4$ ならBが常に勝つため等しくならない。また $q$ は確率なので $0\le q\le1$。したがって $\displaystyle (k,q)=(2,\frac23)$。

[ウ](2) $\displaystyle k=2,q=\frac23$ のとき、1回でBが $0,1,2,3$ 円を得る確率はそれぞれ $\displaystyle \frac38,\frac18,\frac38,\frac18$。Bの賞金が0円のうちAが3円を得る確率は $\displaystyle \frac14$（$X=2$ でくじに当たる場合）である。2回独立に行うと $$\displaystyle P(B_{\rm total}=3)=2\left(\frac38\frac18+\frac18\frac38\right)=\frac3{16}.$$ また $A_{\rm total}=3$ かつ $B_{\rm total}=3$ となるのは、一方で $(A,B)=(3,0)$、他方で $(A,B)=(0,3)$ となる順序の2通りだけなので $$\displaystyle P(A_{\rm total}=3, B_{\rm total}=3)=2\cdot\frac14\cdot\frac18=\frac1{16}.$$ 従って求める条件付き確率は $\displaystyle \frac{1/16}{3/16}=\frac13$。