1千葉大学 2003年 数学 第1問解答・解説

平行移動後の放物線の関数を $g(x)$ とする。もとのグラフ上の点 $(u,f(u))$ は、左へ2、上へ2の平行移動により $(u-2,f(u)+2)$ へ移る。したがって $g(x)=f(x+2)+2$ であり、与式から $$f(x)=g(x-2)-2=(x-2)^2+2(2-a)(x-2)+2(1-2a)-2=x^2-2ax-4$$ を得る。

次に $f(x)=0$ の解は $x=a\pm\sqrt{a^2+4}$ である。$\sqrt{a^2+4}>|a|$ だから、$a-\sqrt{a^2+4}<0<a+\sqrt{a^2+4}$ となり、$1\leq x\leq4$ の範囲に入り得るのは正の解だけである。

$r\geq1$ を調べる。$a\geq1$ なら $\sqrt{a^2+4}>a$ より $r>2a\geq2$ なので成立する。$a<1$ なら $1-a>0$ だから、平方してよいことに注意すると、$r\geq1$ は $$\displaystyle \sqrt{a^2+4}\geq1-a\quad\Longleftrightarrow\quad a^2+4\geq(1-a)^2 \quad\text{すなわち}\quad a\geq-\frac32$$ と同値であり、整理して $\displaystyle a\geq-\frac32$ となる。 従って下端条件は $\displaystyle a\geq-\frac32$ である。

同様に $r\leq4$ を調べる。$a\geq4$ なら $r>2a\geq8$ となり不適である。$a<4$ なら $4-a>0$ なので、$r\leq4$ は $$\sqrt{a^2+4}\leq4-a\quad\Longleftrightarrow\quad a^2+4\leq(4-a)^2$$ と同値であり、平方して、すなわち $\displaystyle a\leq\frac32$ となる。 両方の条件を合わせて $\displaystyle -\frac32\leq a\leq\frac32$ を得る。$\displaystyle a=-\frac32$ のとき $x=1$、$\displaystyle a=\frac32$ のとき $x=4$ が解なので、両端を含む。