5九州大学 2006年 数学 第5問解答・解説

区間 $[a,b]$ が $f(x)$ に関して不変であるとは，「$a\le x\le b$ ならば $a\le f(x)\le b$」が成り立つことをいう。$f(x)=4x(1-x)$ とする。

(1)　 $f(x)=4x-4x^{2}$ を平方完成すると $$f(x)=4x-4x^{2}=1-(1-2x)^{2}$$ となる。$(1-2x)^{2}\ge 0$ であるから，任意の実数 $x$ に対して $$f(x)=1-(1-2x)^{2}\le 1$$ が成り立つ（等号は $\displaystyle x=\dfrac12$ のときに限る）。

一方，$0\le x\le 1$ のとき，$x\ge 0$ かつ $1-x\ge 0$ であるから，その積として $$f(x)=4x(1-x)\ge 0$$ が成り立つ（等号は $x=0,1$ のとき）。

以上より，$0\le x\le 1$ ならば $$0\le f(x)\le 1$$ が成り立つ。すなわち，区間 $[0,1]$ は $f(x)$ に関して不変である。（証明終）

(2)　 $0<a<b<1$ とする。区間 $[a,b]$ が $f(x)$ に関して不変であると仮定して矛盾を導く（背理法）。

$b\in[a,b]$ であるから，不変性より $f(b)\le b$ が成り立つ。すなわち $$4b(1-b)\le b$$ であり，$b>0$ で両辺を $b$ で割ると $4(1-b)\le 1$，すなわち $$\displaystyle b\ge \frac34$$ を得る。以下，$\displaystyle a\le \dfrac12$ の場合と $\displaystyle a>\dfrac12$ の場合に分けて考える。

(i) $\displaystyle a\le \dfrac12$ のとき

上で得た $\displaystyle b\ge\dfrac34>\dfrac12$ と合わせると $\displaystyle a\le\dfrac12\le b$，すなわち $\displaystyle \dfrac12\in[a,b]$ である。不変性より $\displaystyle f\!\left(\dfrac12\right)\le b$ でなければならないが， $$\displaystyle f\!\left(\frac12\right)=4\cdot\frac12\cdot\frac12=1$$ であるから $1\le b$ となる。これは $b<1$ に反する。

(ii) $\displaystyle a>\dfrac12$ のとき

先に得た $\displaystyle b\ge\dfrac34$ と合わせると $$\displaystyle a+b>\frac12+\frac34=\frac54$$ が成り立つ。

一方，$a,b\in[a,b]$ であるから，不変性より $f(a)\le b$ と $a\le f(b)$ が成り立つ。すなわち $$b-4a+4a^{2}\ge 0,\qquad 4b-4b^{2}-a\ge 0$$ であり，辺々加えると $$5b-5a+4a^{2}-4b^{2}\ge 0$$ $$5(b-a)-4(b-a)(a+b)\ge 0$$ $$(b-a)\{5-4(a+b)\}\ge 0$$ を得る。$b>a$ より $b-a>0$ であるから，両辺を $b-a$ で割って $$\displaystyle a+b\le\frac54$$ が成り立つ。

これは先に得た $\displaystyle a+b>\dfrac54$ と矛盾する。

(i)，(ii) のいずれの場合も矛盾が生じるから，仮定「区間 $[a,b]$ は $f(x)$ に関して不変である」は誤りである。よって，$0<a<b<1$ のとき，区間 $[a,b]$ は $f(x)$ に関して不変ではない。（証明終）