I福岡大学 2007年 数学 第I問解答・解説

(i) 3桁の数が偶数となるには、1の位が $2,4,6$ のいずれかであればよい。百の位、十の位はそれぞれ6通りだから $$6\cdot6\cdot3=108.$$ 4の倍数かどうかは下2桁で決まる。十の位を $b$、1の位を $c$ とすると、$10b+c$ が4の倍数となる組 $(b,c)$ は、$c=2$ のとき $b=1,3,5$、$c=4$ のとき $b=2,4,6$、$c=6$ のとき $b=1,3,5$ で、計9通りである。百の位は6通りなので $$6\cdot9=54.$$

(ii) (3) $x$ の範囲で場合分けする。 $$2|x|-|x-2|=\begin{cases} -x-2 &(x<0),\\ 3x-2 &(0\le x<2),\\ x+2 &(x\ge2). \end{cases}$$ これを0とおくと、各範囲で得られる解は $x=-2,\ 2/3$ である。

(4) 左辺から $2x$ を引いた関数を $h(x)$ とする。上の式から $$h(x)=\begin{cases} -3x-2 &(x<0),\\ x-2 &(0\le x<2),\\ -x+2 &(x\ge2). \end{cases}$$ 方程式は $h(x)=a$ である。左の区間では値は $h(x)>-2$、中央では $-2\le h(x)<0$、右では $h(x)\le0$ となる。3区間すべてに解が1個ずつあるのは $-2<a<0$ のときであり、端点では解の個数が3にならない。

(iii) $t=\sin x+\cos x$ とすると $\sin2x=t^2-1$ だから $$f(x)=4(t^2-1)+at-1=4t^2+at-5.$$ また $0\le x\le\pi$ で $-1\le t\le\sqrt2$ であり、最大値 $\sqrt2$ は $x=\pi/4$ でとる。$4t^2+at-5$ は上に凸なので区間内の最大値は端点のいずれかである。端点値は $$t=-1:\ -a-1,\qquad t=\sqrt2:\ 3+\sqrt2a.$$ $0<a<8$ では後者の方が大きいので、最大値は $3+\sqrt2a$ である。