福岡大学 2007年数学第II問解答・解説

ベクトル図形と計量極限指数関数・対数関数

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1問題

福岡大学2007年度第II問

医学部の受験生は2ページの問題を解答すること。

[II] 次の $\square$ をうめよ。答は解答用紙の該当欄に記入せよ。

(i) 平面上に原点 $O$ と3点 $A,B,C$ があり、 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ 、 $OA=1$ 、 $OB=2$ 、 $OC=\sqrt{7}$ であるとする。このとき、 $\angle AOB=\theta$ $(0\leq\theta\leq\pi)$ とすると $\cos\theta$ の値は $\boxed{\text{(1)}}$ である。また、三角形 $OAB$ の面積は $\boxed{\text{(2)}}$ である。

(ii) 2つの数列 $\displaystyle p_n=\frac{2^n a-2^{-n}}{2^{n+1}-2^{-n-1}}$ 、 $\displaystyle q_n=\frac{9n^2+5}{(2an+1)(4n-3)}$ に対し、 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\lim\limits _{n\to\infty}q_n$ となる正の定数 $a$ の値を求めると、 $a=\boxed{\text{(3)}}$ である。またこのとき、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\left\{\log_a(2x)-\log_a(3x+2)\right\}$ の値は $\boxed{\text{(4)}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

ベクトルの内積から角度を求め、数列は最高次項の比、対数差は商の対数に直して極限を計算した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i)
$\displaystyle (1)\space{}\cos\theta=\frac12,$
$\displaystyle (2)\space{}\frac{\sqrt3}{2}.$
(ii)
$\displaystyle (3)\space{}a=\frac32,$
(4) -1.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) $\overrightarrow{OC}=-(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ だから、長さの二乗を取ると $7=OC^2=OA^2+OB^2+2\,OA\cdot OB\cos\theta=1+4+4\cos\theta.$ 従って $\cos\theta=1/2$ である。 $0\le\theta\le\pi$ より $\sin\theta=\sqrt3/2$ なので $\displaystyle [OAB]=\frac12\,OA\cdot OB\sin\theta=\frac12\cdot1\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}.$

(ii) まず $\displaystyle p_n=\frac{2^{2n}a-1}{2^{2n+1}-1}\longrightarrow\frac a2, \qquad q_n=\frac{9n^2+5}{(2an+1)(4n-3)}\longrightarrow\frac{9}{8a}.$ 極限が等しい条件は $a/2=9/(8a)$ 。 $a>0$ だから $a=3/2$ 。

このとき対数の差を一つの対数にまとめると $\displaystyle \log_{3/2}(2x)-\log_{3/2}(3x+2) =\log_{3/2}\left(\frac{2x}{3x+2}\right).$ $x\to\infty$ で括弧内は $2/3=(3/2)^{-1}$ に収束するので、求める極限は $-1$ である。

この問題で使う考え方

ベクトルの内積
三角比による面積
数列の極限
対数とその性質
関数の極限

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