I慶應義塾大学 2021年 数学 第I問解答・解説

(1) $\overrightarrow{OA}=\mathbf a,\ \overrightarrow{OB}=\mathbf b,\ \overrightarrow{OC}=\mathbf c$ とおく。$|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1$ で、$5\mathbf a=7\mathbf b+8\mathbf c$ だから、両辺の長さの2乗より $$\displaystyle 25=49+64+112(\mathbf b\cdot\mathbf c),\qquad \mathbf b\cdot\mathbf c=-\frac{11}{14}.$$ よって $BC^2=|\mathbf b-\mathbf c|^2=2-2\mathbf b\cdot\mathbf c=25/7$ から $BC=5/\sqrt7$。また、条件式と $\mathbf b,\mathbf c$ との内積をとると $\mathbf a\cdot\mathbf b=1/7,\ \mathbf a\cdot\mathbf c=1/2$ を得る。$|\mathbf b|=|\mathbf c|$ なので $\mathbf b+\mathbf c$ は $BC$ に垂直であり、直線 $BC$ 上の点の位置ベクトル $\mathbf x$ は $\mathbf x\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=1+\mathbf b\cdot\mathbf c=3/14$ を満たす。$P$ の位置ベクトルを $t\mathbf a$ とすると $$\displaystyle t\left(\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c\right)=t\frac9{14}=\frac3{14},\qquad t=\frac13.$$ したがって $OP=1/3$。さらに $AB^2=2-2\mathbf a\cdot\mathbf b=12/7,\ AC^2=2-2\mathbf a\cdot\mathbf c=1$ であり、$(\mathbf b-\mathbf a)\cdot(\mathbf c-\mathbf a)=-3/7$。ゆえに $\sin\angle BAC=5/(2\sqrt7)$ で、三角形の面積は $$\displaystyle \frac12 AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac12\sqrt{\frac{12}{7}}\cdot\frac5{2\sqrt7}=\frac{5\sqrt3}{14}.$$

(2) 正の交点を $x_0$ とすると、$x_0^\alpha=mx_0$ より $x_0=m^{-1/(1-\alpha)}$。$0<x<x_0$ では $x^\alpha-mx>0$ なので、円板法により $$\displaystyle V=\pi\int_0^{x_0}(x^\alpha-mx)^2\,dx=\pi x_0^{2\alpha+1}\left(\frac1{2\alpha+1}-\frac2{\alpha+2}+\frac13\right)=\frac{2\pi(1-\alpha)^2}{3(2\alpha+1)(\alpha+2)}m^{-(2\alpha+1)/(1-\alpha)}.$$ $m$ を固定して $\alpha\to+0$ とすると $V\to\pi/(3m)$。また $m^3V$ の $m$ にかかる指数は $(2-5\alpha)/(1-\alpha)$ で、係数は正である。したがって $m\to\infty$ で有限かつ0でない値に収束する条件は $2-5\alpha=0$、すなわち $\alpha=2/5$ である。

(3) 判別式は $D=k^2-4(k+35)=(k-14)(k+10)$。異なる実数解をもつ $k$ は $-100\le k\le-11$ または $15\le k\le100$ なので、$n(A)=90+86=176$。$D>0$ の場合、2解を $u,v$ とすると、両方が2を超えることと $(u-2)+(v-2)=-k-4>0,\ (u-2)(v-2)=3k+39>0$ は同値である。よって $-13<k<-4$ かつ $D>0$ となる整数は $k=-12,-11$ の2個である。$D\le0$ の場合は2解の実部がともに $-k/2$ なので、$-10\le k\le14$ の中で $k<-4$ を満たす $k=-10,-9,\ldots,-5$ の6個が $\overline A\cap B$ に入る。したがって $n(A\cap B)=2,\ n(\overline A\cap B)=6$。 次に $C$ を数える。$D\ge0$ では、2解が整数となる条件は $D=s^2$（$s$ は非負整数）である。実際、$D\equiv k^2\pmod4$ より $s$ と $k$ の偶奇は一致する。$t=|k-2|$ とおけば $(t-s)(t+s)=144$。両因子を $2u,2v$（$0<u\le v$）と書くと $uv=36$ であり、$(u,v)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6)$。それぞれ $t=u+v=37,20,15,13,12$ だから、該当する $k$ は $-35,-18,-13,-11,-10,14,15,17,22,39$ である。このうち $k=-10,14$ は $D=0$ で $A$ に属さない。$D<0$ では解の実部 $-k/2$ が整数になるため $k$ は偶数である。$k=2q$、虚部の絶対値を整数 $h>0$ とおくと $(q-1)^2+h^2=36$。$|q-1|<6$ の整数について $36-(q-1)^2$ が正の平方数になるのは $q-1=0,\ h=6$ だけなので、$k=2$ のみである。ゆえに $A\cap C$ は $-35,-18,-13,-11,15,17,22,39$ の8個、$\overline A\cap C$ は $-10,2,14$ の3個である。