II慶應義塾大学 2021年 数学 第II問解答・解説

どちらの科目にも同順位がないので、英語の順位$x_i$は$1,2,\ldots,n$を一度ずつとり、理科の順位$y_i$も同様である。したがって$\displaystyle \sum\limits _i x_i=\sum\limits _i y_i=\frac{n(n+1)}2$、$\displaystyle \sum\limits _i x_i^2=\sum\limits _i y_i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$。

(1) よって$$\displaystyle \bar x=\frac1n\sum\limits _i x_i=\frac{n+1}{2},\qquad s_x^2=\frac1n\sum\limits _i x_i^2-\bar x^2=\frac{n^2-1}{12}.$$

(2) $n$が奇数の2倍であるとし、$n=2m$（$m$は奇数）とおく。もし$s_{xy}=0$ならば$$\displaystyle 0=s_{xy}=\frac1n\sum\limits _{i=1}^n x_i y_i-\bar x\bar y,\qquad \sum\limits _{i=1}^n x_i y_i=\frac{n(n+1)^2}{4}=\frac{m(2m+1)^2}{2}.$$左辺は整数である。一方、$m$と$2m+1$はともに奇数なので右辺は整数でない。矛盾するから$s_{xy}\ne0$。

(3) $\displaystyle s_y^2=s_x^2=\frac{n^2-1}{12}>0$である。また、$d_i=(x_i-\bar x)-(y_i-\bar y)$なので$$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^n d_i^2=\sum\limits _i(x_i-\bar x)^2+\sum\limits _i(y_i-\bar y)^2-2\sum\limits _i(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=2n(s_x^2-s_{xy}).$$$r=s_{xy}/s_x^2$を代入すれば$$\displaystyle \sum\limits _i d_i^2=2n s_x^2(1-r)=\frac{n(n^2-1)}6(1-r),\qquad r=1-\frac{6}{n(n^2-1)}\sum\limits _{i=1}^n d_i^2.$$

(4) $\displaystyle \sum\limits _i d_i^2\ge0$より$r\le1$であり、等号はすべての$d_i=0$、すなわち$y_i=x_i$のときに成り立つ。一方、$$\displaystyle \sum\limits _i\bigl((x_i-\bar x)+(y_i-\bar y)\bigr)^2=2n(s_x^2+s_{xy})=2n s_x^2(1+r)\ge0$$より$r\ge-1$。等号はすべての$x_i+y_i=n+1$、すなわち$y_i=n+1-x_i$のときに成り立つ。この関係は各$i$で理科順位も$1,2,\ldots,n$を一度ずつとるので実現できる。したがって最大値は$1$、最小値は$-1$である。