2京都府立医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

データ数を $2n$ とする。$x_i=i$ であり、$y_i$ は $2n-k+1,\ldots,2n,1,\ldots,2n-k$ の順に並んでいる。したがって $x,y$ のデータはともに $1,2,\ldots,2n$ の並べ替えであるから、 $$\displaystyle \bar{x}=\bar{y}=\frac{2n+1}{2},\qquad s_x^2=s_y^2=\frac{1}{2n}\sum\limits _{i=1}^{2n}\left(i-\frac{2n+1}{2}\right)^2 =\frac{(2n)^2-1}{12}=\frac{4n^2-1}{12}.$$ ここでは $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}i=m(m+1)/2$、$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{m}i^2=m(m+1)(2m+1)/6$ を用いた。

$d_i=y_i-x_i$ とおくと、$i\leq k$ では $d_i=2n-k$、$i\geq k+1$ では $d_i=-k$ である。$\displaystyle S=\sum\limits _{i=1}^{k}(i-\bar{x})$ とすれば $\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{2n}(i-\bar{x})=0$ より、 $$\displaystyle \begin{aligned} s_{xy} &=\frac{1}{2n}\sum\limits _{i=1}^{2n}(i-\bar{x})(i+d_i-\bar{y})\\ &=s_x^2+\frac{1}{2n}\left\{(2n-k)S-k\sum\limits _{i=k+1}^{2n}(i-\bar{x})\right\}\\ &=s_x^2+S, \end{aligned}$$ なぜなら $\displaystyle \sum\limits _{i=k+1}^{2n}(i-\bar{x})=-S$ だからである。また、 $$\displaystyle S=\sum\limits _{i=1}^{k}\left(i-\frac{2n+1}{2}\right) =\frac{k(k+1)}2-\frac{k(2n+1)}2 =-\frac{k(2n-k)}2.$$ よって $$\displaystyle \boxed{s_{xy}=\frac{4n^2-1}{12}-\frac{k(2n-k)}2 =\frac{4n^2-1-6k(2n-k)}{12}}.$$ $s_x^2=s_y^2>0$ であるから、相関係数は $$\displaystyle r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y} =\frac{s_{xy}}{s_x^2} =1-\frac{6k(2n-k)}{4n^2-1}.$$

(2) $r=0$ と仮定すると $$6k(2n-k)=4n^2-1.$$ $k(2n-k)=n^2-(k-n)^2$ を代入して整理すると $$6(k-n)^2=2n^2+1$$ となる。しかし左辺は偶数、右辺は奇数である。これは矛盾なので、$r=0$ となる $k$ は存在しない。

(3) $k(2n-k)=n^2-(k-n)^2\leq n^2$ であり、等号は $k=n$ のときに限る。$n$ は $1\leq k\leq 2n-1$ を満たすので、この値は許される。$r=1-6k(2n-k)/(4n^2-1)$ だから、$r$ は $k=n$ のとき最小となり、 $$\displaystyle r_n=1-\frac{6n^2}{4n^2-1} =-\frac{2n^2+1}{4n^2-1}.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}r_n =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{-2-1/n^2}{4-1/n^2} =-\frac12.$$ 検算として $n=1,k=1$ ではデータは $(1,2),(2,1)$ であり、$s_{xy}=-1/4$、$r=-1$ となる。上の式もそれぞれ $-1/4,-1$ を与える。