1岩手医科大学 2020年 数学 第1問解答・解説

問1　 国語の平均が42.5点なので，10人の国語の合計は $10\times42.5=425$ 点である。第4番の得点は表の偏差から $A-42.5=-1.5$ を満たすため，$A=41$ 点となる（実際，10人分の合計も $384+41=425$ 点である）。国語の分散は偏差平方の平均20.25だから，標準偏差は $B=\sqrt{20.25}=4.5$ 点である。

算数の得点の合計は $49+48+50+44+45+36+49+43+50+36=450$ 点なので，平均は $C=450/10=45$ 点である。小さい順に並べると $36,36,43,44,45,48,49,49,50,50$ となり，中央の二つの平均は $(45+48)/2=46.5$ 点である。したがって $D=46.5$ 点。

問2　 相関係数は，共分散を二つの標準偏差の積で割った値である。表より共分散は17.5，国語の分散は20.25，算数の分散は25.8であるから， $$\displaystyle r=\frac{17.5}{\sqrt{20.25}\sqrt{25.8}}\approx0.7656\ldots$$ となる。小数第3位を四捨五入して，小数第2位までで $0.77$ である。ここでは表に丸めて記された標準偏差5.08を用いるのではなく，表の偏差平方平均25.8から得られる標準偏差を用いた。

問3　 残り5人の国語の合計は $5\times44=220$ 点である。したがって15人の合計は $425+220=645$ 点，平均は $645/15=43$ 点となる。

全体の平均43点からの偏差平方和を求める。平均 $\mu$ の $n$ 個の値 $t_1,\ldots,t_n$ について，基準を $M$ とした偏差平方和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}(t_k-M)^2=\sum\limits _{k=1}^{n}(t_k-\mu)^2+n(\mu-M)^2$$ となる。これは左辺を $(t_k-\mu)+(\mu-M)$ として展開し，$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}(t_k-\mu)=0$ を用いると交差項が消えるためである。最初の10人については，平均42.5点からの偏差平方和が $10\times20.25=202.5$ であり，平均を42.5点から43点へ移す分が $10(42.5-43)^2=2.5$ 加わる。よってこの10人の偏差平方和は205である。残り5人については，その5人自身の平均44点からの偏差平方和が $5\times9.2=46$ であり，平均を44点から43点へ移す分が $5(44-43)^2=5$ 加わるため，偏差平方和は51である。したがって全15人の分散は $$\displaystyle \frac{205+51}{15}=\frac{256}{15}=17.0666\ldots\approx17.07$$ である。

問4　 算数の10人の合計は $10\times45=450$ 点である。15人全員の平均も45点なので，全員の合計は $15\times45=675$ 点であり，残り5人の合計は225点となる。よって $$x+y+z=225-47-48=130.$$ 各得点は1点刻みの整数であり，さらに41点以上なので，$a=x-41,\ b=y-41,\ c=z-41$ とおくと $a,b,c$ は0以上の整数で，$a+b+c=7$ を満たす。得点の上限50点は $a,b,c\leq9$ に当たるが，和が7なのでこの上限は自動的に満たされる。したがって条件を満たす組は，7個の同じものを3つの変数に分ける非負整数解の数に等しい。7個の間と両端に区切りを2本置く方法は，9か所から区切り位置を2か所選ぶ方法に対応するため，組の数は $$\displaystyle \binom{7+3-1}{3-1}=\binom{9}{2}=36$$ 通りである。区切りは $a,b,c$ の各値を順に指定するので，順序の違う三つ組も重複なく数えている。