2岩手医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

正の数 $x,y$ に対して $$u=\log_2 x,\qquad v=\log_2 y$$ とおく。対数の定義から $u,v$ は実数であり、逆に任意の実数 $u,v$ に対して $x=2^u>0,\ y=2^v>0$ である。したがって、この置き換えで条件を満たす点を漏れなく調べられる。

与式を平方完成すると $$u^2-6u+v^2+8v=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (u-3)^2+(v+4)^2=25.$$ 以下 $s=u-3,\ t=v+4$ とおけば、$s^2+t^2=25$ である。

問1では $x=1$ より $u=0$、すなわち $s=-3$ である。よって $$9+(v+4)^2=25\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (v+4)^2=16,$$ したがって $v=0$ または $v=-8$ となる。ゆえに $y=2^v$ より $y=1$ または $\displaystyle y=2^{-8}=\dfrac{1}{256}$ である。

問2では $s^2\leq25$ より $-5\leq s\leq5$、したがって $-2\leq u\leq8$ である。この両端はそれぞれ $t=0$ とすれば条件を満たすので実際にとれる。また、この区間内の任意の $s$ に対し $t=\sqrt{25-s^2}$ とすれば条件を満たす点があるから、$u$ の範囲はこれで尽くされる。$x=2^u$ は $u$ とともに増加するので $$\displaystyle 2^{-2}=\frac14\leq x\leq2^8=256.$$ 同様に $t^2\leq25$ より $-5\leq t\leq5$、従って $-9\leq v\leq1$ であり、この両端も $s=0$ として実現する。任意の $t$ について $s=\sqrt{25-t^2}$ とできるため、$v$ の範囲に欠落はない。よって $$\displaystyle 2^{-9}=\frac{1}{512}\leq y\leq2^1=2.$$

問3・問4のために比を対数の指数で表すと $$\displaystyle \frac{x^4}{y^3}=2^{4u-3v}=2^{24+4s-3t}.$$ ここで $s^2+t^2=25$ と平方の恒等式から $$25(s^2+t^2)-(4s-3t)^2=(3s+4t)^2\geq0,$$ したがって $-25\leq4s-3t\leq25$ である。等号が成り立つのは $3s+4t=0$ のときであり、これと $s^2+t^2=25$ を合わせると $(s,t)=(4,-3)$ または $(-4,3)$ となる。実際、$t=-3s/4$ を円の式に代入すれば $s^2=16$ となる。

よって指数 $24+4s-3t$ の最小値は $24-25=-1$ で、$(s,t)=(-4,3)$、すなわち $u=-1,\ v=-1$ のときにとる。底 $2$ の指数関数は増加するから、比の最小値は $\displaystyle 2^{-1}=\dfrac12$ であり、そのとき $\displaystyle x=2^{-1}=\dfrac12,\ y=2^{-1}=\dfrac12$ である。代入しても $(u-3)^2+(v+4)^2=16+9=25$、$x^4/y^3=(1/2)^4/(1/2)^3=1/2$ と確かめられる。

同じ指数の最大値は $24+25=49$ で、$(s,t)=(4,-3)$、すなわち $u=7,\ v=-7$ のときにとる。このとき $x=2^7=128,\ y=2^{-7}=1/128$ であり、条件を満たす。また $$\displaystyle \frac{x^4}{y^3}=\frac{128^4}{(1/128)^3}=2^{28+21}=2^{49}=562949953421312.$$ 与えられた $\log_{10}2=0.3010$ を使うと $$\log_{10}(2^{49})=49\times0.3010=14.7490,$$ ゆえに $10^{14}<2^{49}<10^{15}$ であり、最大値は15桁である。上の整数表示から最高位の数字は5、一の位の数字は2と分かる。