8自治医科大学 2019年 数学 第8問解答・解説

対数の定義域より $x>0$ である。また、このとき $\displaystyle x^2+3x+\frac14>0$ であるから、対数の性質を用いて $$\displaystyle \log_2\left(\frac{x^2+3x+\frac14}{x}\right)=a,$$ すなわち $$\displaystyle x+3+\frac{1}{4x}=2^a$$ を得る。ここで $x>0$ より $$\displaystyle \left(\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)^2 =x-1+\frac{1}{4x}\ge0$$ だから $\displaystyle x+\frac{1}{4x}\ge1$ であり、左辺は $4$ 以上である。したがって $2^a\ge4$ が必要で、自然数 $a$ は $a\ge2$ を満たす。さらに $\displaystyle x=\frac12$ のとき左辺は $4$ となるので、$a=2$ で実際に解をもつ。元の式でもこのとき両辺はともに $1$ である。よって最小値は $m=2$ である。