自治医科大学 2019年数学第3問解答・解説

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1問題

自治医科大学2019年度第3問

自然数 $n$ （ $n$ は自然数）について， $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}$ を割り切ることができる整数 $m$ （ $2\le m\le9$ ）のなかで最大なものを求めよ。選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

ワ（9）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$t=n+1$ とおくと、 $n=t-1$ 、 $n+2=t+1$ だから、 $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=(t-1)^3+t^3+(t+1)^3=3(t^3+2t).$ ここで、 $t^3+2t=t(t-1)(t+1)+3t$ である。 $t-1,t,t+1$ は連続する3整数なので、その積は3の倍数である。また $3t$ も3の倍数である。よって $t^3+2t$ は3の倍数であり、 $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ はすべての自然数 $n$ について9の倍数である。指定された範囲 $2\le m\le9$ における最大の候補も9であり、実際に常に割り切るので、求める値は9（選択肢ワ）である。

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