2京都大学 2019年 数学 第2問解答・解説

まず $$f(m)=m^3+2m^2+2=m^2(m+2)+2$$ と書く。3で割った余りを調べると、$m\equiv0,1,2\pmod3$ に対してそれぞれ $f(m)\equiv2,2,0\pmod3$ である。したがって $m\equiv2\pmod3$ なら $3\mid f(m)$ であり、$|f(m)|$ が素数であるためには $|f(m)|=3$ が必要である。

この条件を満たす整数 $m$ を求める。$f(m)=3$ なら $m^2(m+2)=1$ だから $m^2\mid1$ より $m=\pm1$ であり、$m=-1$ のみが式を満たす。$f(m)=-3$ なら $m^2(m+2)=-5$ だが、$m^2\mid5$ より $m=\pm1$ しかなく、どちらも満たさない。よって $|f(m)|=3$ の整数解は $m=-1$ だけである。

ここで $n$ の3で割った余りで場合分けする。 $$\begin{array}{ll} n\equiv1\pmod3 &: n+1\equiv2\pmod3\text{ なので }n+1=-1,\ n=-2.\\ n\equiv2\pmod3 &: n\equiv2\pmod3\text{ なので }n=-1. \end{array}$$ いずれも候補が条件を満たすかは最後に確認する。

残る $n\equiv0\pmod3$ では、$f(k)\equiv k\pmod2$ より偶数 $k$ に対する $f(k)$ は偶数である。偶数の絶対値が素数ならその値は $2$ なので、$f(k)=2$ または $f(k)=-2$ でなければならない。前者は $$k^2(k+2)=0$$ より $k=0,-2$。後者は $k^2(k+2)=-4$ であるが、$k^2\mid4$ から $k=\pm1,\pm2$ に限られ、いずれもこの式を満たさない。従って偶数 $k$ で $|f(k)|$ が素数となるのは $k=0,-2$ の場合だけである。

$n\equiv0\pmod3$ かつ $n$ が偶数なら、$k=n$ として $n=0,-2$ の候補を得るが、このうち $n\equiv0\pmod3$ を満たすのは $n=0$ である。$n\equiv0\pmod3$ かつ $n$ が奇数なら、$k=n+1$ が偶数であり、$n+1=0,-2$ から $n=-1,-3$ を得る。このうち条件を満たすのは $n=-3$ である。

最後に直接代入すると $$\begin{array}{c|rrrr} n&-3&-2&-1&0\\ \hline f(n)&-7&2&3&2\\ f(n+1)&2&3&2&5 \end{array}$$ で、各絶対値はすべて素数である。よって求める整数は $$n=-3,-2,-1,0$$ である。