6京都大学 2019年 数学 第6問解答・解説

$$1+i=\sqrt2 e^{i\pi/4},\qquad 1-i=\sqrt2 e^{-i\pi/4}$$ したがって $$\displaystyle S_n=(1+i)^n+(1-i)^n=2(\sqrt2)^n\cos\frac{n\pi}{4}=2^{1+n/2}\cos\frac{n\pi}{4}.$$ $n$を8で割った余りで場合分けすると、正の値をとるのは $n\equiv0,1,7\pmod8$ のときだけであり、 $$S_n=\begin{cases} 2^{1+n/2} & (n\equiv0\pmod8),\\ 2^{(n+1)/2} & (n\equiv1,7\pmod8),\\ \le 0 & (n\equiv2,3,4,5,6\pmod8). \end{cases}$$ $n\le70$ で正となる各剰余類の最大の $n$ は、それぞれ $64,65,63$ である。よって $$S_{64}=2^{33}=8,589,934,592<10^{10},\quad S_{65}=2^{33}=8,589,934,592<10^{10},\quad S_{63}=2^{32}=4,294,967,296<10^{10}.$$ 一方、$71\equiv7\pmod8$ なので $$S_{71}=2^{(71+1)/2}=2^{36}=68,719,476,736>10^{10}.$$ したがって条件を満たす最小の正の整数は $71$ である。