4京都大学 2019年 数学 第4問解答・解説

出目を $L=\{1,2,3,4\}$ と $H=\{5,6\}$ に分けると、$P(L)=2/3$, $P(H)=1/3$ である。$X_0=0$ は $L$ 側なので、条件は列の中で $L$ から $H$ に移る回数がちょうど1回ということ。

この条件を満たす列は、ある $a,c\ge0$, $b\ge1$, $a+b+c=n$ に対する $$L^aH^bL^c$$ の形に限る。前後の $L$ は空でもよく、$H$ の後に $L$ に戻った場合は以後ずっと $L$ でなければならない。固定した $b$ に対し $a+c=n-b$ の分け方は $n-b+1$ 通りで、各列の確率は $(2/3)^{n-b}(1/3)^b$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} P_n&=\sum\limits _{b=1}^n(n-b+1)\left(\frac23\right)^{n-b}\left(\frac13\right)^b\\ &=\frac1{3^n}\sum\limits _{m=0}^{n-1}(m+1)2^m =\frac{(n-1)2^n+1}{3^n}\\ &=(n-1)\left(\frac23\right)^n+\left(\frac13\right)^n. \end{aligned}$$ 有限和の公式は帰納法で確認できる。従って求める確率は上式である（$n\ge1$）。