5京都大学 2019年 数学 第5問解答・解説

球の中心を原点とし、底面の平面を$z=t$とする。$x=|t|\quad(0\le x\le1)$とおく。球と底面の平面との交円の半径は $$r=\sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-x^2}$$ である。正方形の対角線はこの円の直径だから、底面積は $$\displaystyle S=\frac{(2r)^2}{2}=2(1-x^2)$$

頂点$A$の$z$座標は$-1$以上$1$以下であるので、底面からの高さ$h$は $$h\le1+|t|=1+x.$$ この上限は、$A$を平面の反対側の極に置けば達成する。 $$\displaystyle V=\frac13Sh\le\frac23(1-x^2)(1+x).$$ $$\displaystyle (1-x^2)(1+x)=1+x-x^2-x^3=\frac{32}{27}-\left(x-\frac13\right)^2\left(x+\frac53\right)\le\frac{32}{27},$$ ここで$\displaystyle x+\frac53>0$であり、等号は$\displaystyle x=\frac13$のとき。

実際、$\displaystyle z=\frac13$の平面上の交円に正方形を内接させ、$A$を$(0,0,-1)$に取ると、 $$\displaystyle S=2\left(1-\frac19\right)=\frac{16}{9},\qquad h=\frac43\text{となる。}$$ したがって最大体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac{16}{9}\cdot\frac43=\boxed{\frac{64}{81}}.$$