1京都大学 2019年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{問1: }x=\cos\theta,\ 0<x<1.\;\cos 2\theta=2x^2-1\text{ が有理数であることより }x^2\text{ は有理数}.\;\cos 3\theta=x(4x^2-3)\text{ は有理数}.\text{ もし }4x^2-3\ne0\text{ なら }x=\cos3\theta/(4x^2-3)\text{ は有理数となり矛盾。したがって }x^2=3/4,\;x=\sqrt3/2,\;\theta=\pi/6.\text{ 実際 }\cos2\theta=1/2,\;\cos3\theta=0.\\[4pt]\text{問2(1): }\int_0^{\pi/4}x\sec^2x\,dx=[x\tan x]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac12\log2.\\[4pt]\text{問2(2): }\dfrac{d}{dx}\log(\sec x+\tan x)=\sec x\text{ なので }\int_0^{\pi/4}\sec x\,dx=[\log(\sec x+\tan x)]_0^{\pi/4}=\log(1+\sqrt2).$$