2岩手医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

問1　 $C_2$ の式を変形すると $$\displaystyle f\left(x-\frac{\pi}{2}\right) =\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\sin(2x-\pi) =\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin2x$$ である。したがって共有点の $x$ 座標は $$\displaystyle x\sin2x=\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin2x \quad\text{すなわち}\quad \left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\sin2x=0$$ を満たす。区間 $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ では、$\sin2x=0$ から $\displaystyle x=0,\frac{\pi}{2}$、また $\displaystyle 2x-\frac{\pi}{2}=0$ から $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ を得る。よって共有点の $x$ 座標は $\displaystyle 0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}$ であり、$\boxed{\text{ア}} > \boxed{\text{イ}}$ より $\text{ア}=4,\ \text{イ}=2$ である。

問2　 部分積分により $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}x\sin2x\,dx =\left[-\frac{x}{2}\cos2x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} +\frac12\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos2x\,dx =\frac14$$ となる。また、$\displaystyle \sin^2 2x=\frac{1-\cos4x}{2}$ を用いると $$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 2x\,dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin4x}{8}\right]_0^{\frac{\pi}{4}} =\frac{\pi}{8}.$$ さらに $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}}x\sin^2 2x\,dx &=\frac12\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\,dx -\frac12\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\cos4x\,dx\\ &=\frac{\pi^2}{64} -\frac12\left[\frac{x}{4}\sin4x+\frac{\cos4x}{16}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=\frac{\pi^2}{64}+\frac{1}{16}. \end{aligned}$$ したがって $\text{ウ}=1,\ \text{エ}=4,\ \text{オ}=8,\ \text{カ}=2,\ \text{キ}=6,\ \text{ク}=4,\ \text{ケ}=1,\ \text{コ}=1,\ \text{サ}=6$ である。

問3　 先の変形から $$\displaystyle C_2-C_1=\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\sin2x$$ である。$\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{4}$ では $C_2\geq C_1$ であり、$x$ を $\displaystyle \frac{\pi}{2}-x$ に置き換えると二曲線の上下が入れ替わり、面積は左右で等しい。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\sin2x\,dx\\ &=2\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac12-2\cdot\frac14\right) =\frac{\pi}{2}-1. \end{aligned}$$ したがって $\text{シ}=2,\ \text{ス}=1$ である。

問4　 $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{\pi}{4}$ では $C_2$ が外側、$C_1$ が内側で、$\displaystyle \frac{\pi}{4}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$ ではその逆となる。両方の曲線はこの範囲で $x$ 軸以上にある。また左右の部分は $\displaystyle x\mapsto\frac{\pi}{2}-x$ で対応するので、回転体の体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2-x^2\right]\sin^2 2x\,dx\\ &=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\pi^2}{4}-\pi x\right)\sin^2 2x\,dx\\ &=2\pi\left\{\frac{\pi^2}{4}\cdot\frac{\pi}{8} -\pi\left(\frac{\pi^2}{64}+\frac{1}{16}\right)\right\}\\ &=\frac{\pi^4}{32}-\frac{\pi^2}{8}. \end{aligned}$$ したがって $\text{セ}=4,\ \text{ソ}=3,\ \text{タ}=2,\ \text{チ}=2,\ \text{ツ}=8$ である。