京都大学 2019年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

京都大学2019年度第3問配点 35点

鋭角三角形ABCを考え，その面積をSとする。0 < t < 1 をみたす実数 t に対し，線分ACを t : 1 − t に内分する点をQ，線分BQを t : 1 − t に内分する点をPとする。実数 t がこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と，線分BCによって囲まれる部分の面積を，Sを用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

内分点の座標を媒介変数tで表し、曲線とBCで囲まれる面積を定積分で求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{S}{3}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}\text{Bを原点とし、BCを}x\text{軸にとり、}B=(0,0),\ C=(L,0),\ A=(a,h),\ 0<a<L,\ \text{とおく。}\quad&S=\frac{Lh}{2}.\\ Q&=((1-t)a+tL,\ (1-t)h),\\ P=tQ&=(a t(1-t)+Lt^2,\ h t(1-t)).\\ x(t)&=a t(1-t)+Lt^2,\quad y(t)=h t(1-t),\\ \frac{dx}{dt}&=a+2t(L-a)>0.\\ \text{したがって求める面積}&=\int_0^1 y(t)\frac{dx}{dt}\,dt\\ &=h\int_0^1t(1-t)\{a+2t(L-a)\}\,dt\\ &=h\left\{a\int_0^1(t-t^2)\,dt+2(L-a)\int_0^1(t^2-t^3)\,dt\right\}\\ &=h\left(\frac a6+\frac{L-a}{6}\right)=\frac{Lh}{6}=\boxed{\frac S3}.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

三角比による面積
内分・外分点
定積分による面積

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。