3信州大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$\overrightarrow{OA}$=$\boldsymbol a$,　 $\overrightarrow{OB}$=$\boldsymbol b$,　 $\overrightarrow{OC}$=$\boldsymbol c$ とする。 $\boldsymbol b$$\cdot$$\boldsymbol c$=0 より OC$\perp$ OB であり、また 0<t<3 だから $\boldsymbol a$$\cdot$$\boldsymbol c$=t-3<0 である。したがって $\angle$ AOC は鈍角で、$\angle$ AOC=90^$\circ$+$\theta$ となる。

内積の条件から $\|$OA$\|$ $\|$OC$\|$$\cos$(90^$\circ$+$\theta$)=t-3 より、 $\|$OA$\|$ $\|$OC$\|$$\sin$$\theta$=3-t. $\tan$$\theta$=$\displaystyle \frac1{t+1}$ より $\cot$$\theta$=t+1 なので、 $\|$OA$\|$ $\|$OC$\|$$\cos$$\theta$=(3-t)$\cot$$\theta$=(3-t)(t+1).

D は OA を t:1 に内分するから $\|$OD$\|$=$\displaystyle \frac{t}{t+1}$$\|$OA$\|$ である。OD は OA と同じ方向を向くため $\angle$ COD=$\angle$ COA=90^$\circ$+$\theta$ であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\frac12\|OC\|\,\|OD\|\sin\angle COD\\ &=\frac12\frac{t}{t+1}\|OA\|\,\|OC\|\cos\theta\\ &=\frac12\frac{t}{t+1}(3-t)(t+1)=\frac{t(3-t)}2. \end{aligned}$$

平方完成すると $\displaystyle \frac{t(3-t)}2$=$\displaystyle \frac98$-$\displaystyle \frac12$$\displaystyle \left(t-\frac32\right)^2$$\le$$\displaystyle \frac98$. 等号は t=$\displaystyle \frac32$ で成立し、この値は 0<t<3 を満たす。よって最大値は $\displaystyle \frac98$ である。