信州大学 2018年数学第6問解答・解説

数と式いろいろな式図形と方程式三角関数

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1問題

信州大学2018年度第6問

θ が -π/2 ≦ θ ≦ π/2 の範囲を動くとき，座標平面上の直線 y = (sin θ)x + cos θ 上の点 (x, y) について，不等式 -|x| ≦ y ≦ √(x^2 + 1) が成り立つことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$-|x|\le y\le\sqrt{x^2+1}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおく。 $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ より $|s|\leq1,\ c\geq0$ 、また $s^2+c^2=1$ である。

直線上の点では $y=sx+c$ 。まず $sx\geq-|s|\,|x|\geq-|x|$ であり、 $c\geq0$ だから $y\geq-|x|$ 。

次に $\begin{aligned} x^2+1-y^2 &=x^2+1-(xs+c)^2\\ &=x^2c^2+s^2-2xsc\\ &=(xc-s)^2\geq0. \end{aligned}$ したがって $y^2\leq x^2+1$ 。とくに $y\leq\sqrt{x^2+1}$ である。以上より $\boxed{-|x|\leq y\leq\sqrt{x^2+1}}.$

この問題で使う考え方

sin・cosの範囲
平方差の恒等式

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