5信州大学 2018年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=e^x(x^2+2x)$ とおく。 $$(1)\quad f'(x)=e^x\{(x+2)^2-2\}.$$ $\alpha=-2-\sqrt2,\ \beta=-2+\sqrt2$ とすると、$f$ は $x<\alpha$ で増加、$\alpha<x<\beta$ で減少、$x>\beta$ で増加する。極大値・極小値は $$A=2(1+\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}>0,\qquad B=2(1-\sqrt2)e^{-2+\sqrt2}<0.$$ また $f(-2)=f(0)=0$、$x\to-\infty$ で $f(x)\to0$（正側）、$x\to\infty$ で $f(x)\to\infty$。各増減区間の値域を比べると、共有点がちょうど2個となる条件は $$\boxed{B<a\le0\quad\text{または}\quad a=A}.$$ $a=B$ では接点1個、$0<a<A$ では3個、$a>A$ では1個なので含めない。

(2) まず $B<a\le0$ では、囲まれた領域は $x\le0$ にあり、$a$ を大きくするほど領域が広がる。従ってこの範囲での最大は $a=0$。 原始関数は $F(x)=x^2e^x$ である（微分すると $F'(x)=e^x(x^2+2x)$）。よって $$\displaystyle S(0)=-\int_{-2}^{0}f(x)dx=4e^{-2}.$$ $a=A$ のとき、一方の共有点は $x=\alpha$ の接点、他方は $x>0$。$x\le0$ との共通部分は $\alpha\le x\le0$ における曲線と水平線の間だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} S(A)&=\int_{\alpha}^{0}\{A-f(x)\}dx=-\alpha A+\alpha^2e^\alpha\\ &=\{14+10\sqrt2\}e^{-2-\sqrt2}. \end{aligned}$$ $a=0$ の領域は $a=A$ の領域に含まれ、例えば $-2<x<0$ では後者が前者より高さ $A>0$ だけ広い。従って $S(A)>S(0)$。以上から $$\displaystyle \boxed{S_{\max}=(14+10\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}},\qquad \boxed{a=2(1+\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}}.$$