7長崎大学 2016年 数学 第7問解答・解説

PDF p1医学部指定3,4,7,8。p14問7のp>0、y軸で囲む領域と軸平行長方形を確認。

(1) $f(x)=xe^x$ を積の微分法で微分すると $$f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x,\qquad f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x.$$ また、 $$\{(ax+b)e^x\}'=(ax+a+b)e^x$$ である。これがすべての実数 $x$ について $xe^x$ に等しいため、$e^x>0$ より $ax+a+b=x$ がすべての $x$ で成り立つ。係数を比べて $$a=1,\qquad a+b=0$$ となるから、$a=1,\ b=-1$ である。

(2) 点 $P(p,f(p))$ における接線の傾きと接点の縦座標は $$c=f'(p)=(p+1)e^p,\qquad d=f(p)=pe^p$$ である。したがって接線は $$c(x-p)+d=e^p\{(p+1)x-p^2\}$$ と表せる。接線との差を $g(x)$ とすると $$g'(x)=(x+1)e^x-(p+1)e^p,\qquad g''(x)=(x+2)e^x>0\quad(x\ge0).$$ よって $g'$ は $x\ge0$ で増加し、$g'(p)=0$ だから、 $0\le x<p$ では $g'(x)<0$、$x>p$ では $g'(x)>0$ である。 したがって $g$ は $0\le x\le p$ で減少し、$x\ge p$ で増加する。 さらに $g(p)=0$ なので $g(x)\ge0$（$x\ge0$）。ゆえに $$f(x)\ge c(x-p)+d\quad(x\ge0)$$ が成り立つ。

(3) $0\le x\le p$ では曲線が接線以上にあり、両者は $x=p$ で交わる。 よって図形 $F$ の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S(p) &=\int_0^p\left[xe^x-e^p\{(p+1)x-p^2\}\right]\,dx\\ &=\left[(x-1)e^x\right]_0^p -e^p\left[\frac{p+1}{2}x^2-p^2x\right]_0^p\\ &=(p-1)e^p+1-\frac{p^2(1-p)}{2}e^p\\ &=1+(p-1)\left(1+\frac{p^2}{2}\right)e^p. \end{aligned}$$ ここでは $\{(x-1)e^x\}'=xe^x$ を用いた。

(4) $F$ の $x$ 座標の範囲は $0\le x\le p$ である。 接線は傾き $c=(p+1)e^p>0$ で増加し、曲線も $f'(x)=(x+1)e^x>0$ より $0\le x\le p$ で増加する。 また $F$ では接線が下側、曲線が上側だから、最小の $y$ 座標は 接線の $x=0$ における値 $-p^2e^p$、最大の $y$ 座標は 曲線の $x=p$ における値 $pe^p$ である。したがって $F$ を囲む 最小の軸平行長方形は幅 $p$、高さ $pe^p+p^2e^p$ であり、 $$T(p)=p\bigl(pe^p+p^2e^p\bigr)=p^2(p+1)e^p.$$ この式を用いて $$\displaystyle \frac{S(p)}{T(p)} =\frac{e^{-p}}{p^2(p+1)} +\frac{(p-1)(p^2+2)}{2p^2(p+1)}.$$ 第1項は $0<e^{-p}<1$ と $p^2(p+1)\to\infty$ より $0$ に収束する。 第2項は分子・分母を $p^3$ で割れば $\displaystyle \frac12$ に収束する。ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{p\to\infty}\frac{S(p)}{T(p)}=\frac12.$$