金沢大学 2021年数学第2問解答・解説

1問題

金沢大学2021年度第2問

n を 2 以上の自然数とし，関数 f_n(x) を f_n(x) = (log x)/x^n (x > 1) と定める。y = f_n(x) で表される曲線を C とするとき，次の問いに答えよ。

(1) x > 1 のとき，log x < x - 1 を示せ。また，lim_{x→∞} f_n(x) = 0 を示せ。

(2) 関数 f_n(x) の増減を調べ，極値を求めよ。

(3) 曲線 C の変曲点を求めよ。また，その変曲点における接線と y 軸との交点を (0, y_n) とおくとき，lim_{n→∞} y_n を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $x>1$ では $\log x<x-1$ であり、 $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}f_n(x)=0$ 。(2) $1<x<e^{1/n}$ で増加、 $x>e^{1/n}$ で減少し、 $x=e^{1/n}$ で極大値 $\displaystyle \frac1{ne}$ をとる。極小値はない。(3) 変曲点は $\displaystyle \left(\exp\left(\frac{2n+1}{n(n+1)}\right),\frac{2n+1}{n(n+1)}\exp\left(-\frac{2n+1}{n+1}\right)\right)$ 。その点での接線の y 軸切片は $\displaystyle y_n=\frac{n+1}{n}\exp\left(-\frac{2n+1}{n+1}\right)$ であり、 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}y_n=e^{-2}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad &g(x)=x-1-\log x,\quad g(1)=0,\quad g'(x)=1-\frac1x>0\ (x>1),\\&\therefore\ \log x<x-1<x.\quad 0<f_n(x)=\frac{\log x}{x^n}<\frac1{x^{n-1}}\longrightarrow0\quad(n\ge2).\\[2mm]\text{(2)}\quad &f_n'(x)=\frac{1-n\log x}{x^{n+1}}.\\&1-n\log x\begin{cases}>0&(1<x<e^{1/n}),\\=0&(x=e^{1/n}),\\<0&(x>e^{1/n}),\end{cases}\quad f_n(e^{1/n})=\frac{1}{ne}.\\&\therefore\ x=e^{1/n}\text{ で極大値 }\frac1{ne}\text{ をとり、極小値はない}.\\[2mm]\text{(3)}\quad &f_n''(x)=\frac{n(n+1)\log x-(2n+1)}{x^{n+2}}.\\&f_n''(x)=0\text{であるための必要十分条件は} x=x_0:=e^{\frac{2n+1}{n(n+1)}}.\text{ 分子は }x\text{ が増えると必ず大きくなり、前後で符号が負から正に変わるので変曲点である}.\\&P=\left(x_0,\frac{2n+1}{n(n+1)}e^{-\frac{2n+1}{n+1}}\right).\\&f_n'(x_0)=-\frac{n}{n+1}x_0^{-n-1},\quad y_n=f_n(x_0)-x_0f_n'(x_0)\\&=x_0^{-n}\left(\frac{2n+1}{n(n+1)}+\frac{n}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n}e^{-\frac{2n+1}{n+1}}\longrightarrow e^{-2}.\end{aligned}$

この問題で使う考え方

増減
接線
はさみうち

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2答え

3解答

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