1金沢大学 2021年 数学 第1問解答・解説

a_{n+2}=a_{n+1}−4b_{n+1}=a_{n+1}−4a_n−20b_n とし、元の式から 4b_n=a_n−a_{n+1} を使うと a_{n+2}=6a_{n+1}−9a_n となる。

(1) c_{n+1}=a_{n+2}−3a_{n+1}=3a_{n+1}−9a_n=3c_n。

(2) a_2=−9、c_1=a_2−3a_1=−6 なので c_n=−2・3^n。d_n=a_n/3^n より d_{n+1}−d_n=(a_{n+1}−3a_n)/3^{n+1}=c_n/3^{n+1}=−2/3。d_1=−1/3 だから、d_n=−1/3−(n−1)2/3=(1−2n)/3。

(3) a_n=3^nd_n=(1−2n)3^{n−1}。また b_n=(a_n−a_{n+1})/4 より b_n=(n+1)3^{n−1}。n=1では指定の初項となり、a_n−4b_n=(−6n−3)3^{n−1}=a_{n+1}、a_n+5b_n=(3n+6)3^{n−1}=b_{n+1} なので元の2本の漸化式を満たす。