II愛知医科大学 2021年 数学 第II問解答・解説

1) 第1群から第4群までの個数は $c_1=2,c_2=1,c_3=2,c_4=5$ である。$c_k=ak^2+bk+d$ とおくと $$a+b+d=2,\qquad 4a+2b+d=1,\qquad 9a+3b+d=2.$$ 差を取ると $3a+b=-1$、$5a+b=1$ となるので、$a=1,b=-4,d=5$ である。したがって $$c_k=k^2-4k+5.$$

2) 第 $j$ 群は値 $j$ が $c_j$ 個並ぶので、 $$\displaystyle S(k)=\sum\limits _{j=1}^k j c_j=\sum\limits _{j=1}^k(j^3-4j^2+5j).$$ ここで $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^k j=\frac{k(k+1)}2,\quad \sum\limits _{j=1}^k j^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6,\quad \sum\limits _{j=1}^k j^3=\left(\frac{k(k+1)}2\right)^2$$ を用いる。最後の公式は $j^3=\{j(j+1)/2\}^2-\{(j-1)j/2\}^2$ を足し合わせても得られる。整理すると $$\displaystyle S(k)=\frac{k(k+1)(3k^2-13k+22)}{12}.$$

3) 群末までの和は $S(10)=1760$、$S(11)=2662$ なので、2500を超えるのは第11群の途中である。第11群の項数は $c_{11}=82$、第10群までの項数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{10}c_j=\sum\limits _{j=1}^{10}(j^2-4j+5)=385-220+50=215.$$ 第11群の初めから $t$ 項を加えた和は $1760+11t$ である。これが2500を超えるには $11t>740$、すなわち最小の整数 $t$ は68である。よって求める項番号は $215+68=283$ である。実際、項番号282では和が2497、283では2508となる。