3金沢医科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

第 $m$ 群には $2^m-1$ 項がある。第 $m$ 群までの項数を $N_m$ とすると $$\displaystyle N_m=\sum\limits _{j=1}^{m}(2^j-1)=(2^{m+1}-2)-m=2^{m+1}-m-2.$$ また，第 $m$ 群の項は順に $k/2^m\ (k=1,2,\ldots,2^m-1)$ である。

(1) $N_8=502,\ N_9=1013$ より $$502<1000\leq1013.$$ したがって第1000項は第9群に含まれ，その群での順番は $1000-502=498$ 番目である。

(2) $1/4$ が第 $m$ 群に含まれるには $k/2^m=1/4$，すなわち $k=2^{m-2}$ である。これは $m\geq2$ の各群に1回ずつ現れる。$N_6=120,\ N_7=247$ なので，初項から第200項までは第7群の80項目までを含む。第7群では $k=2^5=32$ も含まれ，該当群は第2群から第7群までの6群である。よって6個。

(3) 第 $m$ 群で $k/2^m>1/2$ となるのは $k=2^{m-1}+1,\ldots,2^m-1$ で，その個数は $2^{m-1}-1$ 個である。$N_7=247,\ N_8=502$ より，初項から第500項までは第1群から第7群まで全部と，第8群の最初の253項を含む。第1〜7群の該当項数は $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{7}(2^{m-1}-1)=127-7=120.$$ 第8群では $k=129,\ldots,253$ が該当するので125個。合計 $120+125=245$ 個。

(4) $N_{10}=2^{11}-10-2=2036$ だから，第2036項までで第1群から第10群までをちょうど含む。第 $m$ 群の和は $$\displaystyle \frac1{2^m}\sum\limits _{k=1}^{2^m-1}k =\frac{(2^m-1)2^m}{2\cdot2^m} =2^{m-1}-\frac12.$$ よって全体の和は $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{10}\left(2^{m-1}-\frac12\right) =(2^{10}-1)-5=1018.$$

(5) 第1〜7群の和は $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{7}\left(2^{m-1}-\frac12\right) =2^7-1-\frac72=\frac{247}{2}.$$ 第8群の最初の $r$ 項の和は $\displaystyle \frac{1+2+\cdots+r}{2^8}=\frac{r(r+1)}{512}$ なので，初項から第 $N_7+r$ 項までの和が200を超える条件は $$\displaystyle \frac{247}{2}+\frac{r(r+1)}{512}>200 \quad\text{と同値な条件は}\quad r(r+1)>39168.$$ ところが $197\cdot198=39006<39168$，$198\cdot199=39402>39168$ であるから，最小の $r$ は198。したがって求める最小の $n$ は $$n=N_7+198=247+198=445.$$

検算として，第500項までの計数は第8群の末尾2項 $254/256,255/256$ を除いた場合であり，完全な第8群までなら $120+127=247$ 個となる。第2036項は第10群の最終項であることも $N_{10}=2036$ から確認できる。