4名古屋市立大学 2022年 数学 第4問解答・解説

群の累積項数を $N_k$ とおき、$N_0=0$ とする。第 $j$ 群の項数は $j+2^{j-1}$ だから、 $$\displaystyle N_k=\sum\limits _{j=1}^{k}(j+2^{j-1})=\frac{k(k+1)}{2}+2^k-1.$$

(1)　 $$\displaystyle N_8=\frac{8\cdot9}{2}+2^8-1=291,\qquad N_9=\frac{9\cdot10}{2}+2^9-1=556.$$ したがって $291<500\le556$ より、$a_{500}$ は第 $9$ 群の項である。第 $9$ 群の各項は $2^{-9+1}=2^{-8}$ なので、 $$\displaystyle a_{500}=\frac{1}{256}.$$

(2)　 第 $k$ 群の項数と各項の値から、 $$\displaystyle S_k=(k+2^{k-1})2^{-k+1}=\frac{k}{2^{k-1}}+1.$$ さらに、$F_0=0$、$\displaystyle F_i=4-\dfrac{i+2}{2^{i-1}}\ (i\ge1)$ とおくと、各 $i\ge1$ について $$\displaystyle F_i-F_{i-1}=\left(4-\frac{i+2}{2^{i-1}}\right)-\left(4-\frac{i+1}{2^{i-2}}\right)=\frac{i}{2^{i-1}}.$$ よってこの差を $i=1$ から $k$ まで加えると、 $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{k}S_i=k+\sum\limits _{i=1}^{k}\frac{i}{2^{i-1}}=k+F_k =k+4-\frac{k+2}{2^{k-1}}.$$

(3)　 $$\displaystyle N_{10}=\frac{10\cdot11}{2}+2^{10}-1=1078,\qquad N_{11}=\frac{11\cdot12}{2}+2^{11}-1=2113.$$ したがって $1078<2022\le2113$ より、$a_{2022}$ は第 $11$ 群にある。第 $1$ 群から第 $10$ 群までの和は (2) より $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{10}S_i=10+4-\frac{12}{2^9}=\frac{1789}{128}.$$ 第 $11$ 群のうち $2022-N_{10}=944$ 項を加えればよく、各項は $\displaystyle 2^{-10}=\dfrac{1}{1024}$ だから、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{2022}a_n=\frac{1789}{128}+\frac{944}{1024} =\frac{1789}{128}+\frac{118}{128}=\frac{1907}{128}.$$

検算として、$N_{10}+944=2022$ であり、$944\le 11+2^{10}=1035$ なので、第 $11$ 群から加えた項数も適切である。また、(2) の和の式は $k=1$ で $2=S_1$ となり、最初の群の総和と一致する。