1高知大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 漸化式 $a_{n+2}=4a_{n+1}-3a_n-4$ に $n=1,2,3$ を順に代入する。

$a_3=4a_2-3a_1-4=4\cdot5-3\cdot1-4=20-3-4=13$

$a_4=4a_3-3a_2-4=4\cdot13-3\cdot5-4=52-15-4=33$

$a_5=4a_4-3a_3-4=4\cdot33-3\cdot13-4=132-39-4=89$

よって

$$a_3=13,\quad a_4=33,\quad a_5=89.$$

(2) 漸化式の両辺から $a_{n+1}$ を引くと

$$a_{n+2}-a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_n-4=3(a_{n+1}-a_n)-4.$$

$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおくと、これは

$$b_{n+1}=3b_n-4\quad(\text{①})$$

と書き直せる。①の不動点、すなわち $c=3c-4$ の解は $c=2$ である。①の両辺から $2$ を引くと

$$b_{n+1}-2=3(b_n-2)$$

となるので、数列 $\{b_n-2\}$ は公比 $3$ の等比数列である。初項は

$$b_1-2=(a_2-a_1)-2=(5-1)-2=2$$

であるから

$$b_n-2=2\cdot3^{n-1},\qquad\text{すなわち}\qquad b_n=2\cdot3^{n-1}+2.$$

（検算）$b_1=2+2=4=a_2-a_1=5-1$、$b_2=6+2=8=a_3-a_2=13-5$、$b_3=18+2=20=a_4-a_3=33-13$、$b_4=54+2=56=a_5-a_4=89-33$ となり、いずれも(1)の値と一致する。

$$b_n=2\cdot3^{n-1}+2$$

(3) 数列 $\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ の階差数列だから、$n\geqq2$ のとき

$$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}\left(2\cdot3^{k-1}+2\right)=1+2\sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{k-1}+2(n-1).$$

等比数列の和の公式より

$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n-1}3^{k-1}=\frac{3^{n-1}-1}{3-1}=\frac{3^{n-1}-1}{2}$$

であるから

$$\displaystyle a_n=1+2\cdot\frac{3^{n-1}-1}{2}+2(n-1)=1+\left(3^{n-1}-1\right)+2n-2=3^{n-1}+2n-2.$$

この式に $n=1$ を代入すると $3^{0}+2-2=1=a_1$ となり、$n=1$ でも成立するので、すべての自然数 $n$ について

$$a_n=3^{n-1}+2n-2$$

が成り立つ。

（検算）$n=2$: $3+4-2=5$、$n=3$: $9+6-2=13$、$n=4$: $27+8-2=33$、$n=5$: $81+10-2=89$ となり、いずれも(1)の値と一致する。

(4)

$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_k=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(3^{k-1}+2k-2\right)=\sum\limits _{k=1}^{n}3^{k-1}+2\sum\limits _{k=1}^{n}k-2n.$$

等比数列の和より $\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}3^{k-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$、等差数列の和より $\displaystyle\sum\limits _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ であるから

$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_k=\frac{3^{n}-1}{2}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}-2n=\frac{3^{n}-1}{2}+n(n+1)-2n=\frac{3^{n}-1}{2}+n^{2}-n.$$

すなわち

$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}a_k=\frac{3^{n}-1}{2}+n^{2}-n=\frac{3^{n}-1+2n^{2}-2n}{2}.$$

（検算）$n=1$: $\displaystyle \frac{3-1}{2}+1-1=1=a_1$。$n=2$: $\displaystyle \frac{9-1}{2}+4-2=4+2=6=a_1+a_2=1+5$。$n=3$: $\displaystyle \frac{27-1}{2}+9-3=13+6=19=1+5+13$。$n=5$: $\displaystyle \frac{243-1}{2}+25-5=121+20=141=1+5+13+33+89$。いずれも一致し、結果の正しさが確認できる。