4山形大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) $a_n$ は初項1、公比 $\displaystyle \tfrac12$ の等比数列の第 $n$ 項までの和だから $$\displaystyle a_n=\sum\limits _{k=1}^{n}2^{1-k}=2\left(1-2^{-n}\right)=2-2^{1-n}.$$ 従って $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{m}a_n=2m-\sum\limits _{n=1}^{m}2^{1-n}=2m-2\left(1-2^{-m}\right)=2m-2+2^{1-m}.$$

(2) $S_0=0$ とすると $b_n=S_n-S_{n-1}$ なので $$\begin{aligned} b_n&=(-n^3+6n^2+25n)-\bigl(-(n-1)^3+6(n-1)^2+25(n-1)\bigr)\\ &=-3n^2+15n+18=-3(n-6)(n+1). \end{aligned}$$ 自然数 $n$ では $n+1>0$ だから、$b_n>0$ となるのは $n<6$、すなわち $n=1,2,3,4,5$ である。これらの和は $S_5$ であり $$S_5=-5^3+6\cdot5^2+25\cdot5=150.$$

(3)(i) 定義と漸化式から $$\displaystyle \begin{aligned} d_{n+1}&=\frac{c_{n+1}+\tfrac13}{4^{n+1}}\\ &=\frac{3(c_n+\tfrac13)+\tfrac13 4^n}{4^{n+1}}=\frac34d_n+\frac1{12}. \end{aligned}$$ また $\displaystyle d_1=\tfrac14(2+\tfrac13)=\tfrac7{12}$ であり、定数解は $\displaystyle \tfrac13$ なので $$\displaystyle d_{n+1}-\frac13=\frac34\left(d_n-\frac13\right),\qquad d_1-\frac13=\frac14.$$ 従って $$\displaystyle d_n=\frac13+\frac14\left(\frac34\right)^{n-1}=\frac13+\frac{3^{n-1}}{4^n}.$$

(3)(ii) $\displaystyle c_n=4^nd_n-\tfrac13$ より $$\displaystyle c_n=4^n\left(\frac13+\frac{3^{n-1}}{4^n}\right)-\frac13=\frac{4^n+3^n-1}{3}.$$