I鳥取大学 2017年 数学 第I問解答・解説

(1) $a_1=1$ なので $a_n\neq0$ を順に確かめながら進める。曲線 $C_n$ の $x=a_n$ における接線の傾きは $$\displaystyle \left.\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{a_n}\right)\right|_{x=a_n}=\frac{2a_n}{a_n}=2.$$ 従って，点 $P_n(a_n,a_n)$ を通る法線 $\ell_n$ の傾きは $\displaystyle -\frac12$ であり， $$\displaystyle \ell_n:\quad y-a_n=-\frac12(x-a_n),\quad y=\frac{3a_n-x}{2}.$$ $C_n$ との交点は $$\displaystyle \frac{x^2}{a_n}=\frac{3a_n-x}{2} \quad\text{すなわち}\quad (x-a_n)(2x+3a_n)=0.$$ $P_n$ 以外の交点の $x$ 座標は $\displaystyle -\frac32a_n$ だから $$\displaystyle a_{n+1}=-\frac32a_n.$$ 初項 $a_1=1$ より $\displaystyle a_n=(-\frac32)^{n-1}$ である。この式から全ての $a_n$ は0でないことも確かめられる。

(2) $u=x/a_n$ とおく。2交点に対応する $u$ は $\displaystyle -\frac32,1$ であり，曲線と直線の高さの差の絶対値と横幅の積分から $$\displaystyle A_n=a_n^2\int_{-3/2}^{1}\left(\frac{3-u}{2}-u^2\right)du.$$ 積分区間では $\displaystyle \frac{3-u}{2}-u^2=-\frac12(2u+3)(u-1)\geq0$ である。また $$\displaystyle \int\left(\frac{3-u}{2}-u^2\right)du=\frac32u-\frac14u^2-\frac13u^3,$$ したがって $$\displaystyle A_n=a_n^2\left[\frac32u-\frac14u^2-\frac13u^3\right]_{-3/2}^{1} =\frac{125}{48}a_n^2=\frac{125}{48}\left(\frac94\right)^{n-1}.$$ よって等比数列の和を用いると $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}A_k=\frac{125}{48}\frac{(\frac94)^n-1}{\frac94-1} =\frac{25}{12}\left\{\left(\frac94\right)^n-1\right\}.$$