II鳥取大学 2017年 数学 第II問解答・解説

(1) 円の式を $$k(x^2+y^2-4)+(x-y+1)=0$$ と整理する。固定点A,Bは全ての $k>0$ に共通するので、kの係数と定数項が共に0となる。従って $x^2+y^2=4,\ x-y+1=0$。$y=x+1$ を代入して $2x^2+2x-3=0$ を解くと、 $$\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt7}{2},\qquad y=\frac{1\pm\sqrt7}{2}$$ （符号は対応）を得る。

(2) kで割って平方完成すると、中心と半径は $$\displaystyle D=\left(-\frac1{2k},\frac1{2k}\right),\qquad r^2=4-\frac1k+\frac1{2k^2}.$$ $u=1/k>0$ とおくと $$\displaystyle DE^2=(1+u/2)^2+(5-u/2)^2 =18+\frac{(u-4)^2}{2}.$$ 従って最小は $u=4$、すなわち $k=1/4$。このとき $r^2=4-4+8=8$、$r=2\sqrt2$。

(3) 固定点ABを結ぶ直線は $x-y+1=0$、長さは $\sqrt{14}$。Qの軌跡は中心 $(-2,2)$、半径 $2\sqrt2$ の円である。PはQEの中点だから、Pの軌跡は中心 $$\displaystyle M=\left(-\frac12,\frac72\right)$$ 半径 $\sqrt2$ の円となる。直線ABからMまでの距離は $3/\sqrt2$。よってこの円周上の点PからABまでの距離の最大値は $3/\sqrt2+\sqrt2=5/\sqrt2$。したがって $$\displaystyle [\triangle ABP]_{\max}=\frac12\cdot\sqrt{14}\cdot\frac5{\sqrt2} =\frac{5\sqrt7}{2}.$$