鳥取大学 2017年数学第III問解答・解説

二次関数数と式微分・積分の考え

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1問題

鳥取大学2017年度第III問

$xy$ 平面上の曲線 $C$ が $\left|y-3x-2x^2\right|=-(x-1)(2x-1)$ で定められているとき，この曲線 $C$ によって囲まれる図形の面積 $S$ を求めたい。以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 $C$ 上の点の $x$ 座標がとり得る値の範囲を求めよ。

(2) 面積 $S$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac12\le x\le1$ ; 面積 $\displaystyle S=\frac1{12}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

まず、絶対値は負にならないため、等号の右辺が 0 以上となる x だけが曲線上に現れる。二つの根を持つ二次式の符号から、x の範囲は $1/2\le x\le1$ と分かる。

この範囲では右辺を $R=-(x-1)(2x-1)$ と置くと $R\ge0$ である。したがって絶対値方程式は、中心となる式 $y=3x+2x^2$ から上下に $R$ だけ離れた二本のグラフに分かれる。整理すると直線 $y=6x-1$ と放物線 $y=4x^2+1$ である。両者は範囲の両端で交わり、区間内部では直線が上にあるので、面積は上の式から下の式を引いて積分する。

**答え**

(1) $\displaystyle \frac12\le x\le1$ 。

(2) $\displaystyle S=\frac1{12}$ 。

主要計算は $\displaystyle S=\int_{1/2}^{1}(-4x^2+6x-2)\,dx=[-4x^3/3+3x^2-2x]_{1/2}^{1}=1/12$ です。

この問題で使う考え方

右辺の符号条件
絶対値の二分岐
上下関数の差の積分

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